Combinatoria:-niño-niña-pares

Question

Es el último problema de la AHSME competencia 1988-1989 (pregunta 30)

"Supongamos que $7$ niños y $13$ de las niñas se alinean en una fila. Deje $S$ el número de lugares en la fila donde un chico y una chica están de pie uno al lado del otro. Por ejemplo, para la fila $\text{GBBGGGBGBGGGBGBGGBGG}$ tenemos que $S=12$. El valor promedio de $S$ (si todos los órdenes posibles de estos $20$ de las personas son consideradas) es la más cercana a

$\text{(A)}\ 9\qquad\text{(B)}\ 10\qquad\text{(C)}\ 11\qquad\text{(D)}\ 12\qquad\text{(E)}\ 13 $

(ver en este enlace de la fuente: http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/1989_AHSME_Problems/Problem_30)

No puedo encontrar una solución exacta, pero sé que la respuesta debe ser:9 (después de haber programado la solución exacta es 91/10)

Estoy en el sexto año de la escuela secundaria si que da una idea de mis matemáticas de nivel. (y he completado todos los AHSME preguntas a partir de 1985-1986 a 1994-1995, a menos que este)

Answer 1

Dado un fijo $n\in\{1,2,3,...,19\}$, ¿cuál es la probabilidad de que los niños en la posición $n$ $n+1$ son de sexo diferente?

Que es fácilmente calculada como $\frac{7\cdot 13+13\cdot7}{20\cdot 19}$.

Por lo que el número esperado de "niño/niña" o "niño" pares en la posición$n$$\frac{91}{10\cdot 19}$.

Pero el número esperado de niño/niña pares a través de toda la línea es sólo la suma de cada una de las $n$. Desde allí se $19$ valores de$n$$19\cdot\frac{91}{10\cdot19}=\frac{91}{10}$.

Que puede hacer este tipo de suma de los valores esperados es un poco confuso cuando el valor en cada ubicación no es independiente. Pero se puede.