Cuando se GIT cocientes proyectiva?

Question

Algunos antecedentes sobre GIT

Supongamos que G es una versión reducida del grupo que actúa sobre un esquema de X. a menudo Nos quieren entender el cociente X/G. Por ejemplo, X puede ser algún espacio de parámetros (como el espacio de lo posible los coeficientes de algunos polinomios que cortar las cosas que estás interesado), y la acción de G en X puede identificar "isomorfo las cosas", en cuyo caso X/G sería el "espacio de moduli de clases de isomorfismo de esas cosas."

Sucede que el cociente X/G, a menudo no existe, o es en algún sentido mal. Por ejemplo, si los cierres de las dos G-órbitas se cruzan, entonces esas órbitas debe obtener asignadas al mismo punto en el cociente, pero nos encantaría ser capaz de decirle a los G-órbitas de distancia. Para remediar la situación, la idea es eliminar de alguna manera la "mala locus" donde los cierres de las órbitas de los confluyen. Por razones que no voy a entrar, esto se hace por medio de la elección de un G-lineal de la línea de paquete de L a X (es decir, una línea de paquete de L, que tiene una acción de G, el cual es compatible con la acción en la X). A continuación, definimos el semi-estable y estable loci

X^ss(L) = {x∈X|existe un invariante de la sección s de algunos tensor de energía de L tal que x∈X_s (la no-desaparición de locus de s) y X_s es afín}
X^s(L) = {x∈X^ss(L)| la inducida por la acción de G en X_s es cerrado (todas las órbitas están cerrados)}

Tenga en cuenta que X^ss(L) y X^s(L) G-invariante. A continuación, el resultado básico es el Teorema 1.10 de Geométricas Invariantes de la Teoría:

Teorema. Hay un buen cociente de X^ss(L) por G (usualmente denotado X//_LG, creo), y hay un geométricas (incluso mejor que bien) cociente de X^s(L) por G. por otra parte, L desciende a una amplia línea de bulto en estos cocientes, por lo que los cocientes son cuasi-proyectiva.

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Mi Pregunta

Existen algunas condiciones que pueden poner en G, X, L, y/o de la acción/de linealización para asegurarse de que el cociente X//_LG o X^s(L)/G es proyectiva?

Parte del atractivo de la GIT maquinaria es que el cociente es automáticamente cuasi-proyectiva, así que no es una elección natural de compactification (el proyectivas de cierre). El problema es que usted entonces tiene que encontrar un sistema modular de interpretación de la compactification por lo que en realidad se puede calcular algo. Hay algunos valores generales que se sabe que el cociente ya estará compacto? Si no, usted tiene que venir con un truco para mostrar que un espacio de moduli es compacto, cada vez, o hacer que la gente siempre uso el mismo truco?

Answer 1

Es la respuesta "cuando no hay no-constante de funciones invariantes" demasiado estúpido? (Por construcción, las funciones de la GIT cociente son invariantes globales de las funciones de $X$). Debido a que parece mostrar que $X$ proyectiva implica $X^{ss}(L)/G$ proyectiva.

Answer 2

No estoy seguro de si este es el tipo de cosa que está después, pero uno puede decir lo siguiente.

Supongamos que trabajamos sobre una base de campo $k$. Si $X$ es adecuada sobre $k$ e las $G$-lineal invertible gavilla $L$ es amplio en $X$, entonces el uniforme categórica cociente de $X^{ss}(L)$ $G$ es proyectiva y lo que da un natural compactification de $X^s(L)/G$.

Creo que esto se menciona en Mumford del libro, pero no hay pruebas de que se da. Se va a través de considerar $\operatorname{Proj}R_0$ donde $R_0$ es el sub-anillo de secciones invariantes de $$\bigoplus_i H^0(X,L^{\otimes i})$$ y demostrando que es el cociente.

Esto se afirma en el Teorema 1.12 en estas notas de Newstead. No he encontrado una prueba escrita - pero mostrando directamente o hacerlo por medio de la reducción para el caso de los proyectiva del espacio no debería ser demasiado difícil, no creo.

Answer 3

Si el espacio de moduli puede ser interpretado como un espacio de moduli de la aljaba de representaciones, entonces puede que tenga suerte. Para los módulos de $\theta$-(semi)estable de la aljaba de representaciones, no es un criterio simple equivalente a la estabilidad y el semistable loci ser iguales: la dimensión del vector de $\alpha$ es indecomposable (es decir, no no trivial de la suma de los elementos) en $\theta^\{\perp}\cap \mathbb{Z}^{Q_0}_{\geq 0}$ donde $Q_0$ es el conjunto de verticies, y $\theta$ es el fijo de estabilidad de parámetros.

Para aprender más acerca de los módulos de la aljaba de representaciones, recomiendo el Rey de papel "Representaciones de finito dimensionales álgebras."

Answer 4

Como Greg Stevenson señala si X es proyectiva, a continuación, $X^{ss}//G$ es proyectiva. Ahora si $X^s = X^{ss}$, claramente $X^s//G$ también es proyectiva. Esto es cierto para los espacios comunes. Una prueba se puede encontrar en Newstead del libro "Introducción a los Módulos de problemas y la órbita de los espacios". En el carcaj de configuración del supuesto de que el espacio X es una variedad afín. Aquí para cualquier condición de estabilidad $\theta$, $X^{ss}//_{\theta}G$ es proyectiva sobre $X//G = Spec(C[X]^G)$. También incluso en el carcaj a la variedad de casos un criterio estable = semistable parece duro y ni siquiera estoy seguro de si uno es conocido.