La "profundidad" de un conjunto

Question

Llegué a pensar sobre un tema que estoy casi seguro de que ya ha de ser estudiado, pero yo no sé cómo buscarlo. A lo que me refiero es la "profundidad" de un conjunto.

Para finitos profundidades (lo que significa que va a ser claro en un momento), es fácil de definir:

• El conjunto vacío tiene profundidad cero.
• Un conjunto no vacío tiene una profundidad de uno más que la mayor profundidad de sus conjuntos de miembros.

Así, por ejemplo, el conjunto de $\{\emptyset\}$ tiene profundidad $1$, los conjuntos de $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ $\{\{\emptyset\}\}$ tienen tanto la profundidad de $2$, e $\{\{\{\emptyset\}\},\{\emptyset\}\}$ tiene la profundidad de 3.

Ahora es obvio que este concepto se extiende a profundidades infinitas. Por ejemplo, $\omega$ tiene una infinita profundidad, ya que contiene conjuntos de cualquier profundidad finita. Ahora parece evidente que la $\{\omega\}$ debe tener una mayor profundidad debido a su elemento ya tiene una profundidad infinita. Así que tiene sentido que las profundidades son dados por los números ordinales (un agradable efecto secundario sería que cada número ordinal sería su propia profundidad). Por otro lado, tal vez no muy sentido para hacer esa distinción (como $\omega$ $\omega+1$ tienen la misma cardinalidad). Así que tal vez la profundidad debe ser medido por los números cardinales en su lugar. O tal vez las profundidades formar su propia clase de números, distinta tanto de la clase de los cardenales y de la clase de los números ordinales?

Claramente para tomar esta decisión, debe haber una manera formal para decidir si dos conjuntos tienen la misma profundidad. No tengo idea de cómo definirlo (a excepción de profundidad finita por lo explícito de la recursión), o si no puede ser una definición significativa en todos (además de la obvia elección para dar a todos los conjuntos de infinita profundidad de la misma profundidad a la $\infty$). Sin embargo, si la profundidad puede tener una definición significativa de infinita profundidad conjuntos, estoy seguro de que esto ha de ser hecho por alguien (aunque muy posiblemente con otro nombre; una búsqueda en internet para "profundidad de conjuntos", no pareció encontrar nada relevante).

(PS: no tengo idea de cual de las dos "teoría" de las etiquetas es apropiado; yo supuse que si puedo descubrir el concepto sin haber tenido nunca un curso en teoría de conjuntos, es probablemente la primaria y por lo tanto eligió esa etiqueta)

Answer 1

Como Zhen Lin menciona en un comentario, lo que se llama profundidad de la (teórica) rango de un conjunto. Podemos definir a $\epsilon$-recursividad por $$ \mathrm{rk}(x)=\sup\{\mathrm{rk}(y)+1\mid y\in x\}. $$ Nota el uso de supremum lugar de máximo, desde conjuntos infinitos (como $\omega$) no puede tener un elemento de mayor rango.

El acumulado de jerarquía se define por la recursión transfinita sobre todos los ordinales por

• $V_0=\emptyset$,
• $V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha)$, y
• $V_\lambda=\bigcup_{\beta<\lambda}V_\beta$ $\lambda$ límite.

Estos conjuntos están en aumento: Si $\alpha<\beta$$V_\alpha\subsetneq V_\beta$. El rango de un conjunto de $x$ es precisamente el menos $\gamma$ tal que $x\in V_{\gamma+1}$.

El axioma de regularidad, o de la fundación, es equivalente a la afirmación de que cada conjunto aparece en algunos $V_\alpha$, es decir, el universo de los conjuntos es de $\bigcup_{\alpha\in\mathsf{ORD}}V_\alpha$ o, en términos de rangos, el rango de cada conjunto está bien definido (y ordinal).

En la ausencia de regularidad, tenemos conjuntos cuyo rango no está bien definida. (Hay dos maneras en que esto puede suceder: podríamos tener "lazos", considerar, por ejemplo, un $x$ tal que $x=\{x\}$. O podemos tener infinito descendente cadenas: $\dots\in x_3\in x_2\in x_1\in x_0$. El axioma de fundación es, precisamente, la afirmación de que $\in$ está bien fundada, es decir, no hay ningún tipo de lazos o cadenas.)

Esta noción es muy útil, en la de grano fino versión que aquí se presenta, donde se distingue entre filas con la misma cardinalidad, pero diferentes como ordinales. Por ejemplo, nos proporciona una herramienta para probar los hechos acerca de todos los conjuntos procediendo por inducción sobre su rango.