Unos de los resultados importantes de la teoría aditiva de números es la solución del problema de Waring.

Question

Deje $\{ r_1, \dots, r_n \}$ $\{ s_1, \dots, s_m \}$ dos conjuntos de enteros positivos. Si $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} = \sum_{i = 1}^{m} s_{i}$$\prod_{i = 1}^{n}(r_i + 1) = \prod_{i = 1}^{m} (s_i + 1)$, no se sigue necesariamente que $n = m$? Más en general, dado el igualdades, no se sigue que no es una permutación $\pi \in S_{n}$ tal que $\pi( \{ r_1, \dots, r_n \}) = \{ s_1, \dots, s_m \}$?

Quizás simétrica funciones de jugar no trivial de la función aquí.

Actualización: Como se ha dicho, ni la pregunta anterior puede ser contestada en forma afirmativa (Ver Prof. de Israel contra-ejemplo). Deje $e_k(x_1, \dots, x_n)$ el valor del $k^{\text{th}}$-primaria simétrica polinomio de $n$ indeterminates.

Existe un entero positivo $l < n$ que si $e_{k}(r_1, \dots, r_n) = e_{k}(s_1, \dots, s_m)$$0 \leqslant k \leqslant l$$\prod_{i = 1}^{n}(r_i + 1) = \prod_{i = 1}^{m} (s_i + 1)$,$n = m$$e_{k}(r_1, \dots, r_n) = e_{k}(s_1, \dots, s_m)$$0 \leqslant k \leqslant n$, o más en general, existe una permutación $\pi \in S_{n}$ tal que $\pi( \{ r_1, \dots, r_n \}) = \{ s_1, \dots, s_m \}$?

Answer 1

No, no es cierto. Por ejemplo, tratar de $\{1, 2, 14\}$ y $\{8, 9\}$

Answer 2

Para cualquier $\ell$, hay distintos conjuntos de $\{{r_1,\dots,r_n\}}$ $\{{s_1,\dots,s_n\}}$ de enteros positivos tales que $$\sum r_i^k=\sum s_i^k,\quad 1\le k\le\ell$$ Information can be found under the headings "multigrade equations", or "Tarry-Escott problem". It follows that the polynomials $\prod(x-r_i)$ and $\prod(x-s_i)$ will have identical coefficients from $x^n$ down to $x^{n-\ell}$, which is to say, the first $\ell$ elementary symmetric functions will agree. It's conjectured that one can take $n$ as small as $\ell+1$, but only proved that one can take $n$ to be on the order of $\ell^2$.

Sé que esto no tiene en cuenta la condición en $\prod(r_i+1)$, pero hay muchas soluciones para el multigrado ecuación sospecho que, en el peor, esto generaría $n$ hasta por 1.