¿Por qué es importante la cofinalidad? Y alguna ayuda para demostrar la absolutidad para $R(\kappa)$

Question

Estoy empezando a leer el libro de Kunen sobre la teoría de conjuntos. No he podido entender por qué necesitamos la cofinalidad. ¿Por qué es importante?

Además, estoy tratando de resolver unos ejercicios (en la página 146) sobre la absolutización para $R(\kappa)$ , donde $\kappa$ es fuertemente inaccesible.

El ejercicio en cuestión es el siguiente (Ejercicio 2):

(AC) Que $\kappa$ ser fuertemente inaccesible. Compruebe que lo siguiente es absoluto para $R(\kappa)$ :

(a) $\mathcal{P}(x)$ .

(b) $\omega_\alpha$ .

(c) $\gimel_\alpha$ .

(d) $R(\alpha)$ .

(e) $\mathrm{cf}(\alpha)$ .

(f) $\alpha$ es fuertemente inaccesible.

Creo que $\mathcal{P}(x)$ , $\omega_\alpha$ y la secuencia $(\omega_\alpha)$ (que se define por recursión transfinita en $\alpha$ ) son absolutos para $R(\kappa)$ porque todos ellos son conjuntos transitivos. Pero en (e) y en (f) no he podido demostrar nada. ¿Podrías darme una pista?

Answer 1

Si estás empezando con la cofinalidad, entonces será esclarecedor considerar el cardinal $\aleph_\omega$ en comparación con los infinitos cardenales más pequeños $\aleph_n$ para un número finito de $n$ . Lo que hay que destacar es que $\aleph_\omega$ es el supremum del $\aleph_n$ y esto hace que $\aleph_\omega$ una unión contable de conjuntos, cada uno de los cuales es menor que $\aleph_\omega$ . Es decir, $\aleph_\omega$ es una unión comparativamente pequeña de conjuntos comparativamente pequeños. Si lo pensamos bien, se trata de una propiedad inusual para una cardinalidad infinita. Por ejemplo, $\aleph_0$ no tiene esta propiedad, ya que una unión finita de conjuntos finitos sigue siendo finita. El cardinal $\aleph_1$ no tiene esta propiedad, ya que una unión contable de conjuntos contables sigue siendo contable. De forma similar, $\aleph_2$ no es una unión de conjuntos pequeños, ya que la unión de $\aleph_1$ muchos conjuntos de tamaño como máximo $\aleph_1$ todavía tiene tamaño $\aleph_1$ . Todavía, $\aleph_\omega$ es una unión comparativamente pequeña de conjuntos comparativamente pequeños.

Un cardenal $\kappa$ es singular, cuando puede expresarse como una pequeña unión de conjuntos pequeños (donde pequeño significa aquí un tamaño inferior a $\kappa$ ), y por lo demás es regular. La distinción singular/regular es una división fundamental para las cardinalidades infinitas, y muchas construcciones dependen de ella, o más precisamente de la cofinalidad particular del cardinal en cuestión.

Answer 2

Si no me equivoco, Kunen utiliza $R(\kappa)$ para indicar $V_\kappa$ . Así que asumiré que es así y daré algunas pistas sobre el ejercicio.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la noción de función cofinal es absoluta en transitiva $\in$ -Modelos. Así que, en primer lugar, tenemos $cf(\alpha)\leq (cf(\alpha))^{R(\kappa)}$ . Esto se debe a que si existe una función de un ordinal $\beta$ cofinal en $\alpha$ en $R(\kappa)$ entonces esta función está igualmente en el universo y por lo tanto la cofinalidad de $\alpha$ tiene que ser menor o igual que $\beta$ . Así que necesitamos la dirección opuesta. Supongamos entonces que tenemos una función $f:cf(\alpha)\to\alpha$ que es cofinal. Esta función será sin duda en $R(\alpha+n)$ donde $n$ es un número natural, porque esencialmente una función es un subconjunto de $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ donde $A$ es el dominio de la función y $B$ es su alcance. Por lo tanto, ya que $R(\alpha+n)\subset R(\kappa)$ tenemos que $f\in R(\kappa)$ y así tenemos que $(cf(\alpha))^{R(\kappa)}\leq cf(\alpha)$ .

En cuanto a (f) ya has demostrado que el conjunto de potencias los ordinales iniciales y la cofinalidad son absolutos en $R(\kappa)$ . Ahora lo que queda es demostrar que las funciones beth son absolutas. Para demostrarlo se utiliza el hecho de que $\kappa$ es un límite fuerte, y al igual que en el párrafo anterior utilizar el hecho de que las funciones entre el conjunto de potencias y su cardinalidad está dentro de $R(\kappa)$ . Componiendo estos hechos se obtiene que un cardenal es fuertemente inaccesible en $R(\kappa)$ exactamente cuando es realmente muy inaccesible.