"Agradable" aplicación del grupo fundamental

Question

Estoy buscando un ejemplo de un resultado topológico que es fácil de probar utilizando el grupo fundamental, pero difícil o imposible elementarily.

Primero pensé en algo como $\mathbb{R}^2\not\cong\mathbb{R}^n$$n>2$, pero esto debe ser posible demostrar sin necesidad de utilizar el grupo fundamental, sino de la simple conexión.

¿Tienes alguna idea? Gracias!

Edit: ¿Qué acerca de Brouwer del teorema de punto fijo; ¿tiene una fácil prueba sin necesidad de utilizar el grupo fundamental? Si no, creo que podría encajar.

Answer 1

Brouwer del teorema de punto fijo puede ser demostrado ser bastante elementarily el uso de Sperner del Lexema.

El grupo fundamental puede ser utilizado de una manera bastante eficaz para mostrar ciertos espacios topológicos no homotópica (y por lo tanto también no homeomórficos). Por ejemplo, ninguno de los siguientes espacios son homotópica: El toro, $\mathbb R^2$, proyectiva del plano.

Con un poco de la teoría de cubrir espacios, uno llega a una muy corta y elegante, la prueba de que un grupo libre en dos generadores contiene subgrupos que son libres de grupos en cualquier número finito de generadores. Este resultado no es terriblemente difícil, pero ciertamente no primaria en teoría de grupos.

Hay una buena prueba del teorema fundamental del álgebra mediante el grupo fundamental (esencialmente el uso de grados de la teoría).

Answer 2

Me gusta la Phragmen-Brouwer Propiedad (PBP). Un espacio topológico $X$ tiene el PBP si está conectado y el siguiente se tiene: si $D,E$ son distintos subconjuntos cerrados de $X$ $a,b$ son distintos puntos de $Y= X \backslash (D \cup E)$ que se encuentran en el mismo componente para ambos $X \backslash D$$X \backslash E$, $a,b$ se encuentran en el mismo componente para $Y$.

Teorema Si $X$ es la ruta de acceso conectado y localmente ruta de acceso conectado, y el grupo fundamental de la $X$ en cualquier punto de no tener los enteros $\mathbb Z$ como un grupo de teóricos de la retractarse, a continuación, $X$ tiene el PBP.

Este es 9.2.1 de la Topología y de la Groupoids. Tenga en cuenta que el círculo de $S^1$ no tiene el PBP. Os dejo para ver el $S^n \backslash A$ $n>1$ $A$ un subconjunto finito de $S^n$.

(En mayores impresiones de T&G, la prueba de 9.2.1 cerca del final se refiere a 9.1.9, en lugar de 8.4.1.)

Supongo que se podría decir que esto no responder a la pregunta desde el Teorema implica que el grupo fundamental, incluso si el PBP no. Sin embargo, su aplicación a ejemplos concretos no responder a la pregunta.

Más tarde: con los mismos métodos, si $X$ es la ruta de acceso conectado, y es la unión de dos abrir la ruta de acceso conectado conjuntos cuya intersección se ha $n$ componentes de la ruta, a continuación, el grupo fundamental de la $X$ contiene el grupo libre en $n$ generadores como se retraiga. Así que usted puede dar ejemplos de espacios que no pueden ser representados como una unión de esta manera.

La mente, el $1$-dimensiones de Hurewicz Teorema mostraría usted puede obtener ejemplos similares de uso $H_1(X)$.

Un histórico punto es que los trabajadores de la topología de principios del siglo 20, tales como Dehn, eran conscientes de la importancia de la nonabelian la naturaleza del grupo fundamental en ciertas cuestiones en análisis y geometría, y así se fueron en busca de mayor dimensiones nonabelian versiones de el grupo fundamental. En 1932, E. Cech presentó una nota a la ICM en Zurich en mayor homotopy grupos, usando los mapas de las esferas $S^n$$n>1$; pero Alexandroff y de Hopf demostró rápidamente estos grupos fueron abelian, y por estos motivos convenció a Cech a retirar su papel, de modo que sólo un breve resumen aparecido en el Procedimiento, y Cech nunca trabajó de nuevo en esa área. Por supuesto Hurewicz, que se dice haber sido en esa conferencia, hizo obra fundamental en higherr homotopy grupos, y ahora sabemos que podemos conseguir (estricto) de nonabelian mayor homotopy groupoids.

Answer 3

Propiedad: Sea$f : \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{D}$ una función continua tal que$f(x)=x$ para todos$x \in \partial \mathbb{D}$. Entonces$f$ es surjective.

Este resultado puede ser probado por contradicción, usando$f$ para obtener una retracción$\mathbb{D} \to \partial \mathbb{D}$ (el mismo argumento se puede encontrar en la prueba del teorema del punto fijo de Brouwer). Una prueba alternativa utiliza la teoría del grado.