Prueba $(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\cdots(1+a_{n})^{n}\ge n^n$ para los reales positivos $a_2,\ldots, a_n$ cuyo producto es $1$

Question

Dejemos que $n \ge3$ sea un número entero, y que $a_{2},a_{3}, ... ,a_{n}$ sean números reales positivos tales que $a_{2} a_{3}\cdots a_{n}=1.$ Pruébalo: $$(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\cdots(1+a_{n})^{n}\ge n^n$$

Este es el segundo problema de la 53ª OMI y parece bastante interesante. ¿Cómo lo resolveríamos?

Answer 1

Otro enfoque que se me ocurrió :

Establecer $a_2 =\frac{x_2}{x_3}, a_3=\frac{x_3}{x_4},\ldots, a_n=\frac{x_n}{x_2}$ . Esta es una sustitución muy útil que utilizamos en los casos en que tenemos un producto igual a uno como en este $ a_2 a_3 \cdots a_n=1 $ .

Ahora tenemos que demostrar que $$ (x_2+x_3)^2 (x_3+x_4)^3 \cdots (x_n+x_2)^n > n^n x_3^2 x_4^3 \cdots x_{n}^{n-1}x_2^n$$

que se hacen evidentes ya que para cada $k$ aplicando la Media Aritmética-Geométrica tenemos que: $$ (x_k+x_{k+1})^{k}=\left(x_k+(k-1)\frac{x_{k+1}}{k-1}\right)^k\geqslant k^k x_k\frac{x_{k+1}^{k-1}}{(k-1)^{k-1}} $$

Sólo hay que multiplicar por $k$ de $2$ a $n$ .