Israel tst 2011 desigualdad geométrica

Question

Dentro de un triángulo equilátero de área $S$ se encuentra un punto, cuyas distancias a los vértices son $x,y, z$ . Demostrar que $xy + yz + zx \geq \frac{4}{\sqrt{3}} S$

Todavía no tengo ni idea. Pero supongo que el punto de Fermat puede ser útil....( $x+y+z\ge \sqrt{3}a$ )

Answer 1

Sea nuestro punto un origen del plano de Gauss, $\Delta ABC$ sea nuestro triángulo,

$A(a)$ , $B(b)$ y $C(c)$ .
Desde $\sum\limits_{cyc}\frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2b-a^2c)}{\prod\limits_{cyc}(a-b)}=-1$ obtenemos:

$1=|\sum\limits_{cyc}\frac{ab}{(b-c)(c-a)}|\leq\sum\limits_{cyc}\frac{|a|\cdot|b|}{|b-c|\cdot|c-a|}=\frac{xy+xz+yz}{AB^2}$

¡Hecho!