Conjunto de todas las medidas de probabilidad con soporte finito

Question

Sea$X$ un conjunto incontable dotado de la topología discreta. Sea$\mathcal{P}(X)$ el conjunto de todas las medidas de probabilidad de Borel en$X$, y considere el subconjunto$A$ de$\mathcal{P}(X)$ que consiste en todas las medidas de probabilidad con soporte finito. ¿Puedo decir algo sobre$A$? ¿Es compacto (si doy$\mathcal{P}(X)$ con la topología débil *)? Lo único que podría decir, si mi razonamiento es correcto, es que$A$ está abierto.

Answer 1

Dotar a $X$ con la topología discreta es en un sentido un "degenerado" en caso de que, debido a que todas las funciones será continua y el delta medida será una medida de Borel.

Incluso en el caso de que $X=[0,1]$, e $\delta_n(A)=\begin{cases}1& 1/n\in A\\0&\mathrm{ \ otherwise}\end{cases}$, cualquier delimitada $f$, en particular para el cual $\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)$ existe pero no es igual a $f(0)$, todavía va a ser continua, ya que tenemos la topología discreta en $[0,1]$. Por lo tanto para esta secuencia de medidas, el único límite es $\delta$, con apoyo en $0$, y por lo $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int f d\delta_n=\lim_{n\rightarrow\infty}f(1/n)\neq f(0)=\int fd\delta.$$ Así, esta secuencia de medidas no convergen en el sentido débil. Es decir, $\mathcal{P}(X)$ no está aún cerrado en la débil* topología, así que no podemos esperar mucho de la estructura en este espacio...