¿Cuál es la diferencia entre la serie de Balmer del hidrógeno y el deuterio?

Question

En mi mecánica cuántica libro de texto, que dice que la serie de Balmer entre el hidrógeno y el deuterio es diferente. Sin embargo, yo estaba bajo la impresión de que la serie de Balmer

$$H_\alpha, H_\beta, H_\gamma$$ is related by the equation $$\lambda=C\frac{n^2}{n^2-4}$$ donde $$ C=3646 \mathring{\text{A}} $$ $$n=3,4,5$$

Hay una ecuación que relaciona la masa y la serie de Balmer?

Cualquier sugerencia se agradece

Answer 1

El completo análisis cuántico del átomo de hidrógeno, es un quantum de dos cuerpo problema, sin embargo, uno de los cuerpos es muy masiva en comparación con los otros, por lo que este problema, como una primera aproximación, se analiza por la solución de la primera cuantifica (es decir, para una partícula cuántica en un clásico de medio ambiente) de Schrödinger o ecuaciones de Dirac para la inversa del cuadrado de potencial relativa a fijo a un punto central. Como usted probablemente sabe, en realidad, el punto central no es fija y la solución completa requiere acusados de núcleo y de electrones a ser tratada de acuerdo a la mecánica cuántica. Así que, claramente, la energía de los autovalores para este dos cuerpo a cuerpo el sistema será diferente de los que se derivan de la primera cuantifica el tratamiento.

Un primer orden de la corrección a la simplificación de la asunción es el uso de una reducción de la masa de los electrones, como se describe en Ben comentario:

$$\mu = \frac{m_e\,M_N}{m_e+M_N}$$

donde $m_e$ es la verdadera masa del electrón y $M_N$ de la masa del núcleo. Como se puede ver, ya que la relación de protones masa del electrón es de 1836 además de un poco, $\mu$ es de menos de $m_e$ por el porcentaje de aproximadamente el $100 m_e / M_n$, o aproximadamente el 0,2%. Si reemplazamos $M_N$ por la masa de la deuteron, esta diferencia se reduce a la mitad, es decir, la reducción de ahora es de 0.1%.

El papel de "la Reducción de la Ecuación de Dirac Y Cordero Cambio Como Una masa-shell Efecto En la Electrodinámica Cuántica" por Ni Guang-jiong, Xu Jianjun y Lou Senyue discute la validez de la reducción de la masa de la ecuación de Dirac.

Sin embargo, esperemos que ahora pueden ver lo que se hace por una simple primera aproximación. Su constante $C = 4/R_H$ donde $R_H$ es la constante de Rydberg:

$$R_\infty = \frac{4}{C} = \frac{m_e q^4}{8 {\epsilon_0}^2 h^3 c}$$

pero ahora el uso de la reducción de la masa $\mu$ en lugar de $m_e$. Más en general, de cualquier línea, haces lo mismo con el átomo de hidrógeno ecuación de Dirac solución general dada, ya sea en el papel o en la "síntesis Matemática de los autoestados de" en el átomo de Hidrógeno la página de la Wiki.

Su problema es un ejemplo muy simple de cómo la afirmación de que "la química es independiente de todas las propiedades de un lado de la número atómico" empieza a descomponerse. Isótopos de masas influyen en la electrónica de autoestados, y esta influencia es más fuerte con los elementos más ligeros. En particular, un poco alocada hecho de que me gusta mantener en mente es que el agua pesada no apoyo "superior" a la vida. El hidrógeno-oxígeno energías de enlace depende de si el hidrógeno en el agua es protium o deuterio, y esta diferencia influye en la bioquímica en última instancia letalmente para eucariotas y multicelled de los organismos eucariotas. En particular, el funcionamiento del huso mitótico y otros eucariotas sexual reproductiva de las estructuras que son fuertemente dependientes de enlace de hidrógeno, afectados a su vez por el OH la energía de enlace, se puede apagar. Ver el Agua Pesada la Página de la Wiki: "el Efecto en los sistemas biológicos" de la sección. Muchos procariotas (asexual bacterias y archaeans), sin embargo, prosperan en agua pesada sin obstáculos.

Answer 2

$$ \frac{1}{\lambda} = \frac{4}{C_M}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right) = R_M\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right), $$ donde $R_M = 4/C_M$ es la constante de Rydberg para el átomo: $$ R_M = R_\infty\left(1+\frac{m_\text{e}}{M}\right)^{-1}, $$ con $m_\text{e}$ de la masa del electrón, $M$ de la masa del núcleo atómico y $$ R_\infty = 1.0973\,731\,568\,539\times 10^7\;\text{m}^{-1}. $$ Para el Hidrógeno puedo conseguir, $$ \begin{align} R_H &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{1.007276466812\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0967\,758\,341\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_H &= 4/R_H = 364.70534\;\text{nm}, \end{align} $$ y para el Deuterio puedo conseguir, $$ \begin{align} R_D &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{2.013553212724\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0970\,742\,659\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_D &= 4/R_D = 364.60613\;\text{nm}. \end{align} $$ Nota: no he verificado estos números.