Error estándar de la combinación de parámetros estimados

Question

Tengo dos parámetros estimados,$\beta$ y$\alpha$, y el error estándar para cada uno de los parámetros.

Quiero encontrar el error estándar del$\frac{\beta}{1-\alpha}$ combinado. El error estándar se puede estimar usando la aproximación de la serie de Taylor de Mood et al., 1974, p.181, pero no conozco los valores medios de los parámetros de ajuste, o el$\mathrm{Cov}(x,y)$.

ps

Answer 1

Por lo general, cuando se puede estimar el modelo se puede obtener la matriz de covarianza de las estimaciones de los parámetros. Si se supone que las estimaciones de los parámetros están distribuidos normalmente (un estándar de hipótesis para muestras grandes y pequeñas muestras con normalidad de los errores), entonces usted tiene el coeficiente de correlación entre las estimaciones de los parámetros, sus medios y sus desviaciones estándar. Así, usted puede utilizar esto para conectarlo en Gaussiana de la relación de distribución para obtener una respuesta a su pregunta.

Mira este artículo: Marsaglia, George. "Las proporciones de variables normales." Journal of Statistical Software 16.4 (2006): 1-10.

Answer 2

Normalmente se utiliza el mismo símbolo para denotar los obtenidos de la estimación de un parámetro (un número) y el estimador que hemos utilizado, que es una variable aleatoria (una función). Para distinguir, voy a utilizar la siguiente notación:
Los verdaderos valores de los parámetros desconocidos : $\alpha,\beta$
Obtuvieron las estimaciones de una muestra específica: $\hat \alpha, \hat \beta$
Estimadores utilizados: $a, b$.

Estamos interesados en la varianza (y, a continuación, el error estándar), de una función de los estimadores, $h[a, b]$. En efecto, nos dice "error estándar de la estimación", pero estrictamente hablando no es el correcto: estimaciones son números fijos, no tienen una varianza o desviación estándar.

Podemos aproximar $h[a, b]$ de primer orden de la expansión de Taylor en torno a los obtenidos de las estimaciones:

$$h[a, b] \approx h[\hat \alpha, \hat \beta]\; + \;\frac {\partial h[a, b]}{\partial a}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot (a - \hat \alpha)\;+\;\frac {\partial h[a, b]}{\partial b}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot (b - \hat \beta)$$

Reorganización,

$$h[a, b] \approx \Big[ h[\hat \alpha, \hat \beta]\; - \;\frac {\partial h[a, b]}{\partial a}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot \hat \alpha\;-\;\frac {\partial h[a, b]}{\partial b}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot \hat \beta\Big]$$

$$+\;\frac {\partial h[a, b]}{\partial a}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot a\;+\;\frac {\partial h[a, b]}{\partial b}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot b$$

Por qué el re-arreglo? Porque, los términos en los grandes soportes son todos los números fijos. Y números fijos no tienen una varianza, y, cuando entran en forma aditiva, que no afectan a la varianza de los términos que hacen. Así

$${\rm Var} \left(h[a, b]\right) \approx {\rm Var} \left(\frac {\partial h[a, b]}{\partial a}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot a\;+\;\frac {\partial h[a, b]}{\partial b}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}}\cdot b\right)$$

En nuestro caso

$$h[a,b] = \frac {b}{1-a} \implies \frac {\partial h[a, b]}{\partial a} = \frac {b}{(1-a)^2} \implies \frac {\partial h[a, b]}{\partial a}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}} = \frac {\hat \beta}{(1-\hat \alpha)^2}$$

y $$\frac {\partial h[a, b]}{\partial b} = \frac {1}{(1-a)} \implies \frac {\partial h[a, b]}{\partial b}\Big|_{\{\hat \alpha, \hat \beta\}} = \frac {1}{(1-\hat \alpha)}$$

Sustituyendo, y usando la fórmula estándar para la varianza de la suma de dos variables aleatorias,

$${\rm Var} \left(\frac {b}{1-a}\right) \approx \left(\frac {\hat \beta}{(1-\hat \alpha)^2}\right)^2\cdot {\rm Var}(a)\;+\;\left(\frac {1}{(1-\hat \alpha)}\right)^2\cdot {\rm Var}(b) \\+\; 2\frac {\hat \beta}{(1-\hat \alpha)^2}\frac {1}{(1-\hat \alpha)}{\rm Cov}(a,b)$$

o un poco más compacto

$${\rm Var} \left(\frac {b}{1-a}\right) \approx \frac {\hat \beta^2{\rm Var}(a)}{(1-\hat \alpha)^4}\;+\;\frac {{\rm Var}(b)}{(1-\hat \alpha)^2} \;+\; \frac {2\hat \beta{\rm Cov}(a,b)}{(1-\hat \alpha)^3}$$

Las varianzas y la covarianza en el lado derecho son desconocidos. Pero se tiene una estimación de ellos: el "estándar de errores" -cuadrado-, y la covarianza de la estimación de la covarianza de la matriz obtenida a partir del modelo. Conecte estas estimaciones en la última expresión, junto con los coeficientes estimados de sí mismos, y luego de tomar la raíz cuadrada de todo para llegar a una estimación de la magnitud usted está interesado en. Nota más de una fuente de aproximación de error aquí.