En un ejercicio me pidieron que simplificara un término que contenga la siguiente fracción:$${\binom{m}{k}\over\binom{n}{k}}$ $
La solución asume que lo siguiente es cierto en el primer paso, sin explicar por qué. Desafortunadamente no puedo reconstruir el paso:
ps
¿Alguien tiene una buena explicación de por qué esta transformación es posible?
No sé si se debe a un memorizado fórmula necesariamente, sino que puede justificar que combinatoria:
$$\binom{n}{m}\binom{m}{k} $$
Cuenta el número de maneras de seleccionar los $m$ elementos de una piscina de $n$ y colocarlos en el recipiente A, y, a continuación, seleccionando $k$ elementos de Un bin y ponerlos en el recipiente B. Usted termina con $m-k$ artículos en el primer recipiente y $k$ elementos de la segunda. Tengamos bien como se realiza en orden inverso, a pesar de que: seleccione $k$ elementos de $n$ poner en bin B y, a continuación, seleccione $m-k$ elementos de $n-k$ poner en la papelera de A. por lo tanto:
$$=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}.$$
Igualando estas dos rendimientos dada la igualdad de los cocientes después de reordenamiento.
La equivalencia de las 2 expresiones anteriores se ha explicado por la anterior carteles.
Por simplificación, me pregunto si te refieres a producir una expresión equivalente que será más probable que se compute sin causar registro de desbordamiento para los factoriales de los números grandes ? O ¿simplemente quieres simplificar en un sentido puramente matemático, es decir, escribir en su forma más simple ? En el primer caso, es mejor escribir como un producto de una serie de cocientes. En el caso de la expresión $${\binom{m}{k}},$$, esto funciona como el producto de k individuales de los cocientes.
Para la plena operación, es decir, $${\binom{m}{k}\over\binom{n}{k}},$ $ usted también tiene un similar número de cocientes debajo de la línea. Así la relación global también funciona como el producto de k cocientes, cada uno de los cuales no será demasiado grande un número. Este cálculo, la m, la n y k se transforma en punto flotante antes de la evaluación de cada cociente y, a continuación, formando el producto de todos los k de ellos. Luego, el resultado se redondea a dar el verdadero resultado entero.
Si el último, no sé de una forma más simple, excepto quizás pmk / nPk (pmk = número de k tamaño de permutaciones posibles de m objetos). Pero esto no se parece mucho mejor.
También se podría desarrollar el lado derecho de la equivalencia anterior y obtenemos : $$\frac{\displaystyle{\frac{m!}{n!}}}{\displaystyle{\hspace 5pt\frac{(m-k)!}{(n-k)!}}\hspace 5pt}$$
Esto reduce entonces a $$\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)}{(m-k)(m-k-1)(m-k-2)\cdots(m-n+1)}$$
que es un producto de (m-n) a cada una de cocientes.
$$\prod_{i=0, j=0}^{i=n-1, j=n-k-1}\frac{m-i}{m-k-j}$$
Así que usted acaba de bucle a través de este proceso de (m-n) de veces, cada vez que el cálculo de cada cociente y multiplicando el producto existente. Si m y n son ambos mucho mayor que k, entonces no debe ser menor a los cálculos a hacerlo de esta forma, así como un menor riesgo de registro de desbordamiento.
Que nadie se entere de Látex mejor que a mí, por favor, edite este lío.
Aunque es un poco simplificado de cómputo, se ha complicado expressionally . . .
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