Ayuda con Convergence / Divergence

Question

Así que estoy tratando de probar si el siguiente problema converge o diverge?

ps

Así que decidí usar la prueba de la raíz.

ps

Pero esa respuesta no es concluyente, porque de acuerdo con la prueba de raíz, si L$$\sum_{n=1}^\infty \left({n\over n+18}\right)^n$ de la función converge, y si L$$ L = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left({n\over n+18}\right)^n} = \lim_{n\to \infty} {n\over n+18} = 1$, que la función diverge. Pero mi respuesta es 1. ¿Puede alguien sugerir algunos otros métodos a través de los cuales puedo determinar si el problema dado converge o diverge? Muchas gracias

Answer 1

Utilice la prueba límite:

Si$\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+18}\right)^n$ no es$0$ o no existe,$\sum \left(\dfrac{n}{n+18}\right)^n$ diverge. De lo contrario, la prueba no es concluyente.

De hecho,$\sum \left(\dfrac{n}{n+18}\right)^n$ diverge.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\left(\frac{n+18}{n}\right)^n=\left(1+\frac{18}{n}\right)^n$. Dado que$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$, concluimos que$\left(\frac{n+18}{n}\right)^n$ tiene límite$e^{18}$. Así que los términos de nuestra serie tienen límite$e^{-18}$, y en particular no se acercan$0$. Se deduce que la serie diverge.