Encontrar la ubicación de una imagen del conjunto de Mandelbrot

Question

Tengo una imagen de un segmento del conjunto de Mandelbrot que me generaron con una aplicación para el iPhone hace mucho tiempo (yo lo uso como mi imagen de fondo). Ahora no tengo idea de donde en el conjunto de la imagen del vino.

Hay matemáticos trucos que puede utilizar para ayudar a encontrar la ubicación en el conjunto, lo que podría hacer que la búsqueda sea más rápido que el de la fuerza bruta?

Answer 1

En Mathematica V10, podemos generar una imagen muy parecida a la tuya con el siguiente comando:

MandelbrotSetPlot[
  {-0.7092 + 0.24445 I,
   -0.712 + 0.2487 I},
  MaxIterations -> 250,
  ImageResolution -> 2000,
  ColorFunction -> "CherryTones"
]

Por supuesto, podría tener sentido para aumentar el número de iteraciones. Aquí está la misma imagen con MaxIterations conjunto de 1500.

La clave geométrica característica que nos permite encontrar que este es el patrón de espiral. Hay 13 brazos en espiral en el Misiurewicz punto cerca de la parte superior de la figura. Que nos dice que estamos cerca de un período de 13 bombilla. Contando en sentido antihorario desde el principal de la espiga, los brazos se hacen más pequeños hasta llegar a la $7^{\text{th}}$ brazo, indicando podríamos mirar el $6/13$ o $7/13$ bombilla, que voy a describir en un momento. También, la primera prominente en espiral (que no es realmente la espiral de mucho) tiene cuatro brazos; esto será útil cuando tratamos de averiguar cuál de los componentes más pequeños fuera de la época de la bombilla debemos examinar.

El principal cardioide del conjunto de Mandelbrot se puede parametrizar a través de $$c(t) = \frac{1}{2} e^{2 i \pi t}-\frac{1}{4}e^{4 i \pi t}.$$ Hay una bombilla conectada a este cardioide en cada número racional $t$. El denominador común de que el número racional le dice el período asociado con la bombilla, es decir, cada parámetro de $c$ elegido de la parte de que la bombilla directamente conectado con las principales cardioide de los rendimientos de una función de $f_c(z)=z^2+c$ con la propiedad de que el punto crítico de cero es atraído a una órbita cuyo período es que el denominador. Esto también pasa a ser el número de brazos que giran en cerca de aquí.

El numerador de la fracción $t$ indica cómo los puntos de la órbita periódica se dio un paso a través. Esto es más fácil de ver con un ejemplo de la resultante de conjuntos de Julia.

Esto también sucede para reflejar los cambios en los tamaños de los brazos en espiral de la conjunto de Mandelbrot.

Teniendo en cuenta todo esto, decidí examinar el período de $6/13$ bombilla conectada a la principal cardioide, es decir, el punto $$c(6/13) = \frac{1}{2} e^{\frac{12 i \pi }{13}}-\frac{1}{4} e^{-\frac{2 i \pi }{13}} \approx -0.706835 + 0.235839 i.$$

This point is shown in red in the image below. The image also includes a sketch of the cardioid as determined by the parametrization $c(t)$.

Zooming in, we see something like so:

Now, at this scale, all of the smaller disks that we see attached to the main $6/13$ disco tienen similares patrones en espiral. Aquí es donde usamos el hecho de que la primera prominente en espiral tiene cuatro brazos. Esto nos lleva, finalmente, a la porción que se describe en azul en la imagen final.