No puedo resolver el siguiente problema de Weibel:
Deje $f:B\to C$ ser un mapa de los complejos de la cadena. Muestran que el natural mapas de $\alpha : \ker(f)[-1]\to \operatorname{cone}(f)$ $\beta: \operatorname{cone}(f)\to \operatorname{coker}(f)$ dar lugar a una larga secuencia exacta: $$\cdots \to H_{n-1}(\ker(f))\to H_n(\operatorname{cone}(f))\to H_n(\operatorname{coker}(f))\to H_{n-2}(\ker(f)) \to \cdots$$
Cualquier ayuda es muy apreciada.
He aquí un boceto. Los detalles que deja a comprobar son bastante sencillo, espero.
Deje $g:\text{im}(f)\to C$ ser la inclusión del mapa.
Hay una breve secuencia exacta de complejos $$0\to\ker(f)[-1]\to\text{cone}(f)\to\text{cone}(g)\to0,$$ que da una larga secuencia exacta de homología.
El natural de mapa de $\text{cone}(f)\to\text{cok}(f)$ factores a través de $\text{cone}(g)$, con el mapa resultante $\text{cone}(g)\to\text{cok}(f)$ un cuasi-isomorfismo.
Yo no podía entenderlo, y aquí es más una idea o un comentario en lugar de una respuesta, pero era demasiado largo para dejar un comentario. En la mayoría de los que puedo definir la conexión de mapa de $\delta: H_{n}(coker(f)) \to H_{n-2}(ker(f))$
Definir la compleja $D=im(f)$$D\cong B/ker(f)$. Luego tenemos a corto exacta de las secuencias de $\begin{align} 0 \to &ker(f)[-1] \to B[-1] \to D[-1] \to 0 \\ 0 \to C \to &cone(f) \to B[-1] \to 0 \\ 0 \to D \to C \to &coker(f) \to 0 \end{align}$
y también hay un par obvio flechas verticales (por ejemplo,$C=C$$B[-1] = B[-1]$) entre estas filas dando un diagrama conmutativo.
Luego, la larga secuencia exacta para cada una de las filas y esperanza a la que están atados juntos muy bien.
También definir la conexión de mapa de $\delta: H_{n}(coker(f)) \to H_{n-2}(ker(f))$ en el ejercicio como el compuesto de $H_n(coker(f)) \to H_{n-1}(D)$ (conexión de morfismos de la tercera fila) y $H_{n-1}D \to H_{n-2}(ker f)$ (conexión de morfismos de primera fila).
Ahora vamos a intentar (y fallar) para comprobar la exactitud en $H_n(cone(f))$. Deje $x \in H_n(cone(f))$ ser tal que $\beta_*x =0 \in H_n(coker(f))$. Empuje $x$ $x' \in H_{n-1}(B)$el uso de la segunda fila. A continuación, empuje $x'$ $x'' \in H_{n-1}(D)$el uso de la primera fila. Mediante la conexión de la flecha de la tercera fila de empuje $\beta_* x =0 $$0 \in H_{n-1}D$. Si esto significa $x'' =0$ (no está claro que lo hace), luego por la exactitud llegamos $X \in H_{n-1}(ker(f))$ la asignación a $x' \in H_{n-1}B$. No es claro para mí que $X$ mapas a$x$, aunque. :(
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