Un juego que se juega en un rectángulo

Question

Supongamos que dos jugadores juegan el juego siguiente en un $m$ $n$ rectángulo. En la hilera que tiene que hacer una cruz en algunos vacía $1\times 1$ plaza. Ellos no están autorizados para hacer una cruz al lado de la otra de la cruz (en Diagonal es ACEPTAR, no sólo uno al lado del otro). El jugador que pone la última cruz gana.

Ahora la pregunta es para qué $m,n$ hace el primer jugador tiene una estrategia ganadora?

Al principio pensé que esto podría ser sólo un buen ejercicio. Así que he echado un vistazo al 1 $n$ rectángulos primera. Un programa informático calcula que el primer jugador no tiene una estrategia ganadora para $n=4,8,14,20,24,28,34,38,42,54,58,62,72,76,88,92,96,106,110$ ($n\le 110$).

Yo no veo ningún patrón en estos números. Así que la respuesta puede no ser tan fácil.

El primer jugador puede ganar siempre por extraño $n$. Él sólo se coloca una cruz en el medio y espejos de todos los movimientos del segundo jugador.

Answer 1

El $n \times 1$ versión es de Dawson Ajedrez. La OP es la secuencia de A215721 en la OEIS, después de la adición de 1 a cada término. Escribí un programa demasiado, y se encontró que la proporción de perder posiciones iniciales parece tender a una constante, hay 1473 perder posiciones en la primera 10000, y 14709 perder posiciones en la primera 100000. He encontrado una explicación a las "ratas Sprague-Grundy valores de Dawson Ajedrez" (A002187 en la OEIS):

Tiene período de 34, con las únicas excepciones a n=0, 14, 16, 17, 31, 34 y 51.

5/34 es 0.14705...