Espacio de Banach con respecto a las dos normas debe ser de Banach respecto de la suma de las normas?

Question

Deje $X $ ser un infinito dimensional $R$-espacio vectorial, supongamos que $||\cdot||_1$ $||\cdot||_2$ son dos normas en las que se hace $X$ en un espacio de Banach. Deje $||\cdot||_3 = ||\cdot||_1 + ||\cdot||_2 $ ,esta es otra norma en $X$.

Es $X$ wrt $||\cdot||_3 $?

Es obvio que si $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset X$ $||\cdot||_3 $- secuencia de Cauchy, entonces también es $||\cdot||_1 $-Cauchy y $||\cdot||_2 $-Cauchy. Por lo tanto, no existe $x_1^*, x_2^*\in X$ tal que $x_n \overset{||\cdot||_1}{\to} x_1^*$ $x_n \overset{||\cdot||_2}{\to} x_2^*$ , pero a priori $x_1^*$ puede ser diferente de $x_2^*$.

Podemos demostrar que $x_1^* = x_2^*$ en general? De lo contrario, podemos encontrar un contraejemplo?

Sólo alcancé a mostrar este si $||\cdot||_1 < C ||\cdot||_2$, gracias al hecho de que $X$ T2 (o en otra forma que esta condición implica que los dos Banach normas son equivalentes). De hecho, si $x_1^*\neq x_2^*$ $n$ lo suficientemente grande, $x_n $ debe pertenecer a un barrio, $U(x_1^*)$ $x_1^*$ (barrio , tanto en las topologías) disjunta de otro barrio (en ambas topologías) de $x_2^*$. Por desgracia no puedo generalizar esta prueba, ya que en el caso general, las dos topologías no son comparables.

Answer 1

Deje $f: X_1\to X_2$ ser el mapa de identidad. La afirmación de que para cualquier secuencia $x_n$, de modo que $x_n\to_1 x_1$ $f(x_n)\to_2 x_2$ converge uno ha $x_2=f(x_1)=x_1$ es la misma que la declaración que $f$ es un cerrado operador.

Cerrado definido globalmente operador de forma automática y continua (cerrado teorema de la gráfica). Usted puede hacer lo mismo con la inversa de la mapa (también la identidad, pero con el dominio y la imagen invertida). Por lo tanto, si los límites de las condiciones mutuamente secuencias de Cauchy de acuerdo, las dos normas deben ser equivalentes.

Hay sin embargo, existen espacios vectoriales que tienen dos no equivalentes de Banach normas. Tenga en cuenta que $\ell^1(\Bbb N)$ $\ell^2(\Bbb N)$ ambos tienen cardinalidad $\mathfrak c$, con lo que las cardinalidades de Hamel base que tienen están delimitadas por $\mathfrak c$. Sin embargo, ambos son infinitos y, a la mínima dimensión de los infinitos espacios de Banach es $\mathfrak c$, por lo que hay un bijection entre la Hamel basises. Un bijection entre los dos basises induce un isomorfismo lineal entre los dos espacios, por lo que la vista como el mismo lineal espacio de dos diferentes normas.

Allí, sin embargo existe ningún continua isomorfismo entre el$\ell^1$$\ell^2$.

Así que hay secuencias que tienen diferentes límites, incluso a pesar de que son de Cauchy en ambas normas. Entonces no puede haber ningún $x^*$, de modo que $\|x_n-x^*\|_1 + \|x_n-x^*\|_2\to 0$.