"Difícil, a favor de" los conejos y los Números de Fibonacci - Una variación probabilística

Question

Los números de Fibonacci se muestra por el epónimo matemático a la solución de un ciertamente idealizada de la población de conejos problema de crecimiento.

Los conejos se vuelven fértiles de un mes después de su nacimiento, después de lo cual de inmediato, y con éxito, bíblicamente dormir con un compañero: su gestación dura un mes así y dan a luz a un macho y una hembra.

El número de conejos a lo largo del tiempo se encuentra para ser representados por los números de Fibonacci $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$, donde el índice representa el número de generación.

Pensé en un probabilística de variación sobre el mismo tema, el cual no todas las parejas exitosamente. Por el contrario, son más exigentes y una proporción constante $p$ de las parejas no generar progenie durante cada generación. ¿Cuál será el número, sino la distribución de par de conejos a lo largo del tiempo?

En cuanto al valor esperado, creo que este debería de seguir la recursividad $$F_n = F_{n-1} + p F_{n-2}$$

¿Qué acerca de la distribución resultante?

Creo que se podría escribir $$F_n = F_{n-1} + \mathcal{B} (p; F_{n-2})$$ where $\mathcal{B} (p;n)$ stands for the binomial distribution for $n$ trials, with probability success $p$. Aquí soy incapaz de simplificar la consiguiente expresión y quisiera ver si y cómo se podría hacer.

Answer 1

Una definición rigurosa de los procesos aleatorios $(F_n)_{n\geqslant0}$ que usted describe es que $F_0=F_1=1$ y que por cada $n\geqslant0$, $$ F_{n+2}=F_{n+1}+\sum_{k=1}^{F_n}Z_{n,k}$$ where the doubly-indexed family $(Z_{n,k})_{n\geqslant0,k\geqslant1}$ is i.i.d. Bernoulli with $P(Z_{n,k}=1)=p$ and $P(Z_{n,k}=0)=1-p$. A su vez, este azar de la recursión puede escribirse bajo la forma de la bivariante proceso de ramificación $$Y_n=\begin{pmatrix}Y^1_n\\ Y^2_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+1}\\ F_n\end{pmatrix}$$ starting from $$Y_0=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ with reproduction mechanism $$Y^1_{n+1}=\sum_{k=1}^{Y^1_n}1+\sum_{k=1}^{Y^2_n}Z_{n,k}\qquad Y^2_{n+1}=\sum_{k=1}^{Y^1_n}1+\sum_{k=1}^{Y^2_n}0$$ Thus, the mean reproduction matrix $R$ of $(Y_n)$ is $$R=\begin{pmatrix}1&p\\1&0\end{pmatrix}$$ whose eigenvalues are $$\lambda=\frac12+\frac12\sqrt{4p+1}\qquad\mu=\frac12-\frac12\sqrt{4p+1}$$ with eigenvectors $$U_\lambda=\begin{pmatrix}\lambda\\1\end{pmatrix}\qquad U_\mu=\begin{pmatrix}\mu\\1\end{pmatrix}$$ Una consecuencia de ello es que, para cada una de las $\nu\in\{\lambda,\mu\}$, $$M_n^\nu=\frac{F_{n+1}+(\nu-1)F_n}{\nu^{n+1}}$$ defines a martingale $(M_n^\nu)_{n\geqslant0}$ starting from $M_0^\nu=1$. Now, $\lambda>1$ hence $M^\lambda$ is a positive martingale, bounded in $L^2$, in particular, $M^\lambda_n\a W_\lambda$ almost surely, for some nonnegative random variable $W_\lambda$ such that $E(W_\lambda)=1$. From there, follows the almost sure limit $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{\lambda^n}= \frac{\lambda}{2\lambda-1}W_\lambda=\frac{\lambda}{\sqrt{1+4p}}W_\lambda$$ Esta convergencia es muy fuerte ya que, usando el segundo autovalor $\mu$ y recordando que $-1<\mu<0$, uno puede mostrar que, casi seguramente, $$F_n=\frac{\lambda^{n+1}}{\sqrt{1+4p}}W_\lambda-\frac{\mu^{n+1}}{\sqrt{1+4p}}W_\mu+\mu^nG_n$$ for some second random variable $W_\mu$ such that $E(W_\mu)=1$ and some sequence $(G_n)_{n\geqslant0}$ such that $E(G_n)=0$ and $G_n\to0$ almost surely. Note finally that this approach also provides the (much easier) result that $$E(F_n)=\frac{\lambda^{n+1}-\mu^{n+1}}{\sqrt{1+4p}}$$