Límite de infinito por cero

Question

Estoy tratando de evaluar $\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^x[e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1]$ .

Usando la regla de L'hopital sé $\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^x\log(1-e^{-x}) = -1$ y por eso tengo un $\infty$ veces $0$ situación.

Mi problema es que cuando uso la regla de L'hopital en toda la expresión $e^x[e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1]$ Parece que estoy entrando en un bucle infinito.

Si trato de evaluarlo de esta manera: $\frac{e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1}{e^{-x}}$ entonces siempre termino con $e^x\log(1-e^{-x})$ en el numerador y $e^{-x}$ en el denominador no importa cuántas veces tome derivadas. Estos 2 nunca se simplificará para dar una solución agradable.

Si pruebo el otro camino y lo evalúo de esta manera: $\frac{e^x}{\frac{1}{e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1}}$ entonces siempre termino con $e^x[e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1]^n$ para algún número entero $n$ que es básicamente lo mismo que donde yo empecé.

¿Existen otros métodos que puedan utilizarse para evaluar este tipo de límite? No tengo nada más en mi bolsa de trucos.

Answer 1

Una pista. Usted puede simplemente poner $u=e^{-x}$ , obteniendo $$ e^x[e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1]=\frac1u\left( \frac1u\log(1-u)-\log(1-u)+1\right) $$ entonces, como $x \to +\infty$ Es decir $u \to 0^+$ , utilice la expansión de Taylor: $$ \log (1-u)=-u-\frac{u^2}2+O(u^3) $$ para conseguir

$$ \lim_{x\to +\infty} e^x[e^x\log(1-e^{-x}) - \log(1-e^{-x})+ 1]= \frac12. $$