¿Por qué la gente de intercambio entre el $\int$ $\sum$ tan fácilmente?

Question

Una de las cosas que he encontrado curioso en muchos textos es cómo, en ciertos casos, el intercambio de las $\sum$ operador $\int$. ¿Cuáles son las "condiciones" para un swap? Entiendo que la integración en los primeros días fue visto como una aproximación del área bajo la curva mediante el uso de la definición de la multiplicación y de la zona para echar una mano con incrementos muy pequeños, donde el número de muestras que se extiende hacia el infinito.

Más allá de la pregunta original, es esta también la razón por la que mantener la mano derecha $dx$ (o cualquier otro infinitesimal variable), sólo para recordarnos el origen, porque "se multiplica en contra de la función", por lo tanto dándole área. O hay más?

Sugerencias, respuestas, las referencias a los libros... se lo agradecería cualquier cosa que usted me puede dar.

Answer 1

En un análisis elemental, una de Riemann/Darboux integral definida (entre otras definiciones equivalentes) como un adecuado límite (finito) de la suma. De donde el folclore, según el cual "una integral es esencialmente una serie". Esto es bastante falso, pero usted sabe, en la escuela primaria de análisis/cálculo casi se puede decir lo que quiera.

El $\mathrm{d}x$ es claramente una deformación de " $\Delta x$ en las sumas de Riemann. Hoy en día, denota la medida por la cual la integral definida. Si la integral es sólo una integral de Riemann, algunos autores sugieren escribir $\int_a^bf$ en lugar de $\int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x$. Están en lo correcto, ya que la integral de Riemann dependen de $a$, $b$, y la función de $f$. La variable de integración es un maniquí.

Por último, recuerde que $\int$ es un caligráfico de la deformación de una "S", mientras que $\sum$ es el griego "S". Por eso muchos de los pioneros utilizado para el tipo de confundir $\sum$ $\int$ en sus manuscritos. Pero, honestamente, contemporáneo de los libros de texto no deben intercambiar los dos signos, ya que vivimos en 2012 y Cauchy murió hace muchos años ;-)

Answer 2

En mi humilde opinión, la integral que es el más cercano como una noción de la suma es la integral de Lebesgue. En primer lugar, una suma que es una integral de Lebesgue con respecto a una medida adecuada, es decir, $$ \sum\limits_{i=1}^n a_i = \int\limits_1^n(x)\;\mu(\mathrm dx) $$ donde $a(x)$ es cualquier función con la única restricción de $a(i) = a_i$ $i=1,\dots,n$ y medir el $\mu$ está concentrado en puntos de $1,2,\dots,n$ tal que $\mu(1) = \mu(2) = \dots = \mu(n)$.

Ya que la suma es un objeto con muchas buenas propiedades, que siempre es útil cuando la integral también muestra propiedades similares. E. g. si $a_i\geq 0$ y $$ \sum\limits_i a_i = 0 $$ a continuación, $a_i = 0$ todos los $i$. Para la integral de Lebesgue tiene casi el mismo, es decir, si la función de $f$ es tal que $f(x)\geq 0$ y $$ \int\limits_X f(x)\mu(\mathrm dx) = 0 $$ entonces el conjunto $\{x:f(x)\neq 0\}$ es de medida cero $\mu$.

Answer 3

Me gustaría mostrar un ejemplo de cómo podemos cambiar ∫ ∑

Si una función con valores de $f(t)$ es infinitamente diferenciable en a $0 \leq t \leq x$ y la totalidad de orden superior derivadas se definen los valores en 0≤t≤x.

En primer lugar , podemos escribir la serie de Maclaurin de $f(t)$ a punto de $t=0$ Si el valor real de la función f es infinitamente diferenciable en a $t=0$ y la totalidad de orden superior derivadas se definen los valores.

La serie de Maclaurin de $f(t)$ a punto de $t=0$:

$ f(t) =f(0)+\frac{f'(0)t}{1!}+\frac{f''(0)t^2}{2!}+.....=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} t ^n $

$$\int _0^x {f(t) dt}=\int _0^x(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} t^n)dt=\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int _0^x t^n dt)=\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{x^{n+1}}{n+1})$$ $$\int _0^x {f(t) dt}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^{n+1}}{(n+1)!}$$ $$(1)$$

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$$f(\frac{kx}{n})=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m)}(0)}{m!} (\frac{kx}{n})^m$$ $$\sum \limits_{k=1}^{n} k^m=\frac{n^{m+1}}{m+1}+a_mn^m+....+a_1n=\frac{n^{m+1}}{m+1}+\sum \limits_{j=1}^m a_jn^j$$ where $a_j$ son constantes. Más información acerca de la suma http://en.wikipedia.org/wiki/Summation

$$\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\sum \limits_{k=1}^n f(\frac{kx}{n})=\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\sum \limits_{k=1}^n \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m)}(0)}{m.} (\frac{kx}{n})^m=\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{n^m} \frac{f^{(m)}(0)}{m.} \sum \limits_{k=1}^n k^m=\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}[f(0)n+\frac{f'(0)x}{n 1!}(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+ \frac{f"(0)x^2}{n^2 2!}(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6})+\frac{f"'(0)x^3}{n^3 3!}(\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4})+\frac{f^{(4)}(0)x^4}{n^4 4!}(\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30})+...... ]= \lim_{n\to\infty} [f(0)x+\frac{f'(0)x^2}{n^2 1!}(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+ \frac{f"(0)x^3}{n^3 2!}(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6})+\frac{f"'(0)x^4}{n^4 3!}(\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4})+\frac{f^{(4)}(0)x^5}{n^5 4!}(\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30})+...... ]= [f(0)x+\frac{f'(0)x^2}{ 2!}+ \frac{f"(0)x^3}{ 3!}+\frac{f"'(0)x^4}{ 4!}+\frac{f^{(4)}(0)x^5}{ 5!}+...... ]$$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\sum \limits_{k=1}^n f(\frac{kx}{n})=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m)}(0)x^{m+1}}{(m+1)!}$$ $$(2)$$

La ecuación de $(1)$ y la ecuación de $(2)$ son iguales el uno al otro. La prueba se ha completado.

$$\int _0^x {f(t) dt}=\lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\sum \limits_{k=1}^n f(\frac{kx}{n})$$