topología de $PSL(2, \mathbb C)$?

Question

¿Qué se puede decir acerca de la topología de $\text{PSL}(2, \mathbb{C})$, por ejemplo, su cohomology grupos?

Mediante el uso de la larga secuencia exacta en la homotopy uno puede mostrar que la inclusión $$\text{SO}_3 \to \text{PSL}(2, \mathbb{C})$$ that sends any rotation $\phi \en \text{PARA}_3$ to the moebius transformation mapping $0 \a \phi(0), 1 \a \phi(1), \infty \a \phi(\infty)$ es un homotopy de equivalencia.

¿Hay más formas geométricas para ver esto?

Answer 1

De una manera genérica, después de la identificación de $PSL_{2}(\mathbb{C})$$SO(3,1)(\mathbb{R})$, sería el uso de la Iwasawa descomposición $G=NAK$ donde $K=SO(n)$ $A$ es la división Cartan, $N$ el unipotentes grupo. Como $N,A$ son contráctiles (isomorfo a $\mathbb{R},\mathbb{R}^{n-1}$), vemos que la topología es la "concentración" en $K=SO(n)$.

De todos modos, yo segundo Igor referencia así.

Answer 2

Ver "Topología de la Mentira Grupos" de Hans Samelson.

Answer 3

Otra manera de ver esta que es la más elemental, es darse cuenta de que la imagen de esta inclusión es $PSU_2(\mathbb{C})$ y el porque de la existencia de descomposición QR, $PSL_2(\mathbb{R})$ es topológicamente el producto de $PSU_2(\mathbb{R})$ y el subgrupo $\begin{pmatrix} 1 & \mathbb{C} \\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Así que el homotopy equivalencia se da mediante la contratación de la parte triangular.