Cierre de conjuntos compactos en un espacio de Banach

Question

Deje $(X,\vert\vert\cdot\vert\vert)$ ser un espacio de Banach. Para cada una de las $k\in\mathbb{N}$ deje $A_k\subseteq X$ ser compacto y $r_k\in\mathbb{R},r_k>0$, de tal manera que $$A_{k+1}\subseteq \{x+u\vert x\in A_k \text{ and } u\in X \text{ with } \vert\vert u\vert\vert\leq r_k\}$$ para cada $k\in\mathbb{N}$ y $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}r_k<\infty$$ Mostrar que el cierre de $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$ es compacto.

Sólo que no sé por dónde empezar, cualquier idea o sugerencia sería útil, gracias!

Answer 1

Deje $A:=\bigcup_{k=1}^\infty A_k$. Desde $A$ está contenida en una completa normativa espacio, es suficiente para mostrar que $A$ es totalmente acotado. Por lo tanto, fijar $\varepsilon\gt 0$ $k_0$ tal que $\sum_{k\geqslant k_0}r_k\lt\varepsilon$.

Para $m\geqslant 1$, $$A_{k_0+m}\subset\left\{x=a_{k_0}+\sum_{l=1}^mx_k, x_k\in A_{k_0+k},\lVert x_k\rVert\leqslant r_k\right\}.$$ Esto puede ser demostrado por inducción en $m$.

Por lo tanto, $$A_{k_0+m}\subset\left\{x, x=x'+x'', x'\in A_{k_0}, \lVert x''\rVert\leqslant \sum_{k=k_0+1}^mr_k\right\}\subset A_{k_0}+B(0,\varepsilon),$$ de la que podemos deducir $$A\subset \bigcup_{j=1}^{k_0}A_j\cup(A_{k_0}+B(0,\varepsilon)).$$ Si $S_j$ es un subconjunto finito de $A_j$ tal que $A_j\subset\bigcup_{x\in S_j}B(x,\varepsilon)$, luego $$A\subset\bigcup_{j=1}^{k_0}\bigcup_{x\in S_j}B(x,\varepsilon)\cup \bigcup_{x\in S_{k_0}}B(x,2\varepsilon),$$ por lo tanto $A$ está contenida en un número finito de la unión de la bola de radio menor que $2\varepsilon$.