encontrar una oportunidad de que todos los N puntos se encuentran en la mitad del círculo.

Question

Se nos da un círculo con N asignados al azar puntos en ella. La tarea es encontrar una oportunidad de que todos los N puntos se encuentran en la mitad de un círculo.

He redactado una solución:
1. Puesto que no hay manera de poner dos puntos en círculo, de modo que no estaban en el mismo medio círculo, $P_1$ $P_2$ elegido al azar y no afecta a la posibilidad. Así, se requiere de probabilidad es:
$P(P_3) \cdot P(P_4)\: \cdot ... \cdot P(P_n)$ donde $P(P_i)$ es la probabilidad de que i-ésimo punto pone sobre la forma correcta de la mitad del círculo.
2. Vamos a visualizar lo que $P(P_3)$, $P(P_4)$ aspecto:
Gris sector destaca prohibida la parte de círculo.
Es obvio a partir de imágenes, que $P(P_i)$ aproxima a 0,5 como se aumenta la cantidad de puntos de

Para este ejemplo concreto, podemos escribir: $P(P_3) = 1 - \frac {\Delta(\theta_2,\theta_1)} {2\pi}$ $P(P_4) = 1 - \frac {\Delta(\theta_3,\theta_1)} {2\pi}$.
3. Entonces, si podemos generalizar, $P(P_i) = 1 - \frac {\Delta_i} {2\pi}$ donde $\Delta_i$ es una diferencia de ángulos de los más distantes puntos.
Y tengo entendido que aquí, que debo introducir algunos generalizado de la fórmula, pero no la puedo ver y no quiero hacer conjeturas. Así que agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Un adecuado discretización del problema es la siguiente: hacemos un conteo de cuántas maneras podemos optar $n-1$ enteros $i_1,\ldots,i_{n-1}$ tal que $0=i_0\leq i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_{n-1}\leq i_n=2mn$, y para cada $k\in[1,n]$ tenemos $i_{k}-i_{k-1}< mn$. Este número es igual al coeficiente del monomio $x^{2mn}$ en el producto $$(1+x+\ldots+x^{mn-1})^n = \left(\frac{1-x^{mn}}{1-x}\right)^n=$$ $$=\left(1-nx^{mn}+\binom{n}{2}x^{2mn}-\ldots\right)\cdot \sum_{j=0}^{+\infty}\binom{n+j-1}{j}x^j,$$ por lo tanto es igual a: $$\binom{n}{2}-n\binom{mn+n-1}{n-1}+\binom{2mn+n-1}{n-1},\tag{1}$$ mientras que el número de opciones que satisfacen sólo $0=i_0\leq i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_{n-1}\leq i_n=2mn$ es igual al coeficiente de $x^{2mn}$ en el producto $\frac{1}{(1-x)^n}$, es decir, el último término de la $(1)$. Por lo que la probabilidad de que una secuencia $0=i_0\leq i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_{n-1}\leq i_n=2mn$ tiene al menos un índice de $k\in[1,n]$ tal que $i_k-i_{k+1}\geq mn$ es igual a: $$\frac{n\binom{mn+n-1}{n-1}-\binom{n}{2}}{\binom{2mn+n-1}{n-1}}.\tag{2}$$ Tomando el límite de $(2)$ $m$ que va al infinito da que la probabilidad de $H_n$ $n$ elegido al azar de puntos en un círculo que se encuentran en el mismo medio círculo. Tenemos: $$ H_2 = 1, \quad H_3=\frac{3}{4},\quad H_4=\frac{1}{2},\quad H_5=\frac{5}{16},\quad H_n=\frac{2n}{2^n}.$$

Answer 2

Esto no es correcto si que la mitad del círculo no se especifica en el inicio. Dicen que el siguiente punto es $\frac {2\pi}3$ radianes. Su cálculo dice que ha fallado, pero no es un medio círculo que contiene los dos puntos-la de $0$$\pi$, por ejemplo. El segundo punto siempre será dentro de algún círculo de la mitad de la primera. La parte difícil viene con el tercer punto. Siguiendo mi ejemplo, podría estar en cualquier lugar de $-\frac \pi 3$ $\pi$radianes, dando una oportunidad de $\frac 23$ que los tres puntos están en un medio círculo. Dejando el ejemplo, el tercer punto se permite un rango que coincide con la distancia entre los dos primeros puntos. Que es general: cada punto es rechazado por un importe del círculo que es el rango del lote existente de puntos. Esto no resuelve el problema.

Answer 3

(Esto es a lo largo de las respuestas encontradas aquí: Probabilidad de que n puntos en un círculo en un semicírculo)

Considerar uno de los puntos de $x_k\in{\mathbb R}/{\mathbb Z}$. La probabilidad de que a la derecha de este punto de un intervalo de longitud de ${1\over2}$ es libre de otros puntos de $x_l$$2^{-(n-1)}$. Por lo tanto, el número esperado $E$ de los puntos de $x_k$ con esta propiedad está dado por $E=n\>2^{-(n-1)}$.

Por otro lado, indicar por $p_k$ la probabilidad de que nos encontramos exactamente $k$ subintervalos de longitud $\geq{1\over2}$. A continuación,$E=\sum_{k\geq 0} k\>p_k$. Como obviamente $p_k=0$ al $k\geq2$ se sigue que $$p_1=E={n\over 2^{n-1}}\ .$$

(Este argumento puede ser usado cuando se ${1\over2}$ se sustituye por un valor mayor, pero no para un valor de $<{1\over2}$, desde entonces $p_2>0$.)

El caso de $n=3$ puede ser manejada de la siguiente manera: Los dos primeros puntos tiene una distancia $t\geq0$, que se distribuyen de manera uniforme en $\bigl[0,{1\over2}\bigr]$. Dados estos puntos el tercer punto tiene un "prohibido" rango de longitud de $t$, por lo que obtenemos $$p_1=\int_0^{1/2} (1-t)\>2dt={3\over4}\ .$$