Una pista: La clave está en utilizar la función euclidiana. Como muchos subrings del plano complejo, tenemos la función euclidiana que das, $\phi$ , de tal manera que $\phi(a+bi) = a^2+b^2$ . Sabemos que $\phi$ es multiplicativo en $\mathbb{C}$ y podemos demostrar que en el caso de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ el algoritmo de división funciona.
Para determinar las unidades de $R$ , si $z$ es una unidad, entonces $zz^{-1}$ =1 así que $\phi(z)\phi(z^{-1})=1.$ Por lo tanto, o bien $\phi(z)= 1$ o, sin pérdida de generalidad, $\phi(z)<1$ . ¿Podríamos conseguirlo en el anillo dado?
Para expresar $4+\sqrt{-2}$ como producto de irreducibles, si no se ve cómo factorizar directamente, suponga $ab=4+\sqrt{-2}$ (donde tampoco hay unidades). De ello se desprende que $\phi(a)\phi(b)=18$ . Usando eso $\mathbb{Z}$ es un UFD, y utilizando nuestros conocimientos previos sobre qué valores de $\phi$ que pueden tomar los elementos no unitarios, podemos determinar algunos valores posibles de $\phi$ para los factores. Jugar con los posibles elementos de un determinado "tamaño" debería permitirte factorizar $4+\sqrt{-2}$ en partes más pequeñas. Para demostrar que estos cada factor es irreducible, supongamos que es expresable como producto de elementos no unitarios, determinemos los valores posibles de $\phi$ los divisores pueden tomar y luego mostrar que esto no es posible.
