Intuición de la adjunción unidad-conjunto

Question

¿Tienes alguna intuición en particular o algún ejemplo que guardes en la cabeza cuando piensas en la adjunción unidad-conjunto? En este punto, escribir $$R(\epsilon_c)\circ \eta_{R(c)} = \text{Id}_{R(c)}$$ $$\epsilon_{L(d)} \circ L(\eta_{d}) = \text{Id}_{L(d)}$$ me parece una manipulación simbólica. (Aquí tenemos $R:C \to D$ adjunto derecho de $L:D \to C$ y $c \in |C|$ y $d \in |D|$ .)

Obviamente, hay muchos ejemplos de functores adjuntos. Buscando una clarificación y / o fácil de recordar ejemplo de cómo la unidad y counit trabajar juntos como arriba.

Answer 1

Diagramas de cadenas son increíbles cuando se trata de trabajar en una bicategoría, en particular la bicategoría $\mathsf{Cat}$ . Básicamente, los objetos se representan mediante regiones del plano, los 1-morfismos se representan mediante cadenas y los 2-morfismos se representan mediante nodos. Las identidades pueden no representarse en el diagrama, y entonces las dos igualdades triangulares se convierten simplemente en:

y

Lo interesante, además, es que los diagramas de cuerdas también se utilizan para categorías monoidales (¡que son un caso especial de bicategorías con un único objeto!). Las dos igualdades triangulares significan en realidad que las dos "1-células" (que en realidad son objetos de la categoría monoidal) son doble entre sí, con evaluación $\eta$ y coevaluación $\epsilon$ . Creo que es un punto de vista importante considerar los functores adjuntos como "duales" entre sí en ese sentido.

Si, por el contrario, hubiera empezado con la categoría dos $\mathsf{Top}$ entonces "contigüidad" (en términos de igualdades de triángulos) significa realmente equivalencia homotópica . Así que si te sientes cómodo con la dualidad o la equivalencia homotópica y cómo interactúan los diferentes componentes de cada una, puedes usar eso para ganar intuición sobre la contigüidad.

Explicar todo sobre los diagramas de cuerdas sería demasiado largo para una respuesta de math.SE, pero espero que lo anterior te haya interesado lo suficiente. Hay algunas referencias listadas en el artículo de nLab que enlacé al principio, y también hay una introducción (específicamente sobre 2-categorías) en "Dualizabilidad en teoría de categorías superiores de baja dimensión" de Chris Schommer-Pries (en Topología y teorías de campo , pp. 111-176, Contemp. Math., 613, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014), más concretamente en la sección 6.

Answer 2

Piense en términos de identidad.

Permítanme referenciar un objeto mediante dos modalidades, digamos |#> y |b>, con operadores definidos como

• |#|sharp

• |b| plano

y unidad definida por

• |#b| = 1 = |b#|

Ahora, para identificar cada objeto, creemos un camino de ida y vuelta construido a partir de la grafía única de cada objeto: tomamos un camino agudo e inmediatamente un camino llano en el primer objeto y tomamos un camino llano e inmediatamente un camino agudo en el segundo :

• |#> = |b#| |#> = 1 |#>

• |b> = |#b| |b> = 1 |b>.

Ambos son mapas desde el objeto hacia sí mismo y, por tanto, deberían representar una identidad, pero vemos que la creación de rutas utilizando nuestros operadores adjuntos no crea una identidad única que separe los objetos creados exclusivamente en una modalidad frente a la otra.

Pero observe lo que ocurre cuando se bifurca la definición original de unidad para incluir un país.

• |#b| = 1 $_f$ .

• |b#| = 1 $_s$ .

Ahora la ruta de ida y vuelta de nuestros objetos es realmente única para cada objeto y, por tanto, puede representar realmente una identidad única:

• |#> = |b#| |#> = $1_s$ |#>

• |b> = |#b| |b> = $1_ f$ |b>.

(Por cierto, si no me equivoco, la primera definición de nuestra unidad como autodual corresponde a una interpretación monoidal para nuestro espacio de estudio, mientras que nuestra definición de unidad/conjunto corresponde a una interpretación de grupo para nuestro espacio).