$SU(2)$ Grupo de Lie

Question

Llevo un tiempo estudiando los grupos de Lie por diversión y me parecen fascinantes. Recientemente me han dicho que $SU(2)$ puede utilizarse de alguna manera para seguir los sistemas de navegación de los cuerpos mientras completan giros enteros.

¿Alguien sabe algo sobre este tema que me lo pueda explicar con claridad y quizás tenga alguna idea de dónde puedo leer al respecto?

Answer 1

Esto está relacionado con la relación de SU(2) con los cuaterniones unitarios. Desde el punto de vista informático y práctico, el uso de cuaterniones para las rotaciones tiene algunas ventajas.

Puedes leer sobre eso en Wikipedia, y también puedo recomendar Cuaterniones y secuencias de rotación por Jack B. Kuipers. (Su subtítulo es "Un manual con aplicaciones a las órbitas, la industria aeroespacial y la realidad virtual"). Parece que podría sacar algo de provecho.

Answer 2

Dejemos que $\sigma_i$ sean las matrices de Pauli. Una representación típica de $\mathfrak{su}(2)$ es $i\sigma_i$ .

Cualquier vector 3 $x$ puede representarse como $$X = \sigma\cdot x,$$ donde $\sigma\cdot x = \sum_{i=1}^3 \sigma_i x_i$ . ( $i X$ es un cuaternión imaginario puro). Los componentes de $x$ se puede encontrar en $X$ utilizando el hecho de que $\mathrm{Tr}\, \sigma_i \sigma_j = 2\delta_{ij}$ , donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker. Tenemos $$x_i = \frac{1}{2} \mathrm{Tr}\, \sigma_i X.$$

Rotar el vector $x$ sobre el eje $n$ por el ángulo $\theta$ . El vector girado $x'$ está representado por $$\begin{equation*} X' = R^{-1} X R \tag{1} \end{equation*}$$ donde $$R = e^{i\theta n\cdot \sigma/2} = \mathbb{I} \cos\frac{\theta}{2} + i n\cdot\sigma \sin \frac{\theta}{2}.$$ (En el lenguaje de los cuaterniones, $R$ es un versor). Tenga en cuenta que $R^{-1}(\theta) = R(-\theta)$ . La ecuación (1) hace que el hecho de que $\mathrm{SU}(2)$ es la doble cubierta de $\mathrm{SO}(3)$ explícito--en $\mathrm{SU}(2)$ $R(\theta+2\pi) = -R(\theta)$ pero en $\mathrm{SO}(3)$ estas rotaciones son indistinguibles. El hecho de que (1) represente la rotación adecuada en el espacio 3 puede demostrarse mostrando, por ejemplo, que da Fórmula de rotación de Rodrigues , en relación con $x'$ a $x$ en la forma adecuada. Aproximadamente, $X$ se transforma como un vector, es decir, como el $(1/2,1/2)$ representación de $\mathrm{SU}(2)$ ---su índice izquierdo se transforma con $R^{-1}$ y su índice derecho con $R$ .

Es un buen ejercicio demostrar utilizando este formalismo que el vector $x$ girado en torno a la $z$ -eje por el ángulo $\theta$ es $$x' = \left(\begin{array}{c} x_1 \cos\theta - x_2\sin\theta \\ x_1 \sin\theta + x_2\cos\theta \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)$$ según sea necesario.

Figura 1. Bloqueo del cardán.

Como se menciona en el interesante enlace proporcionado por @JyrkiLahtonen en los comentarios, bloqueo del cardán puede afectar a los cardanes, así como a las representaciones matemáticas de las rotaciones. Rotaciones por ángulos de Euler sufren este problema . Sea $R(\alpha,\beta,\gamma)$ sea la representación habitual de una rotación en el espacio 3 por los ángulos de Euler. Si $\beta = 0$ entonces $R(\alpha,0,\gamma) = R(\alpha+\gamma,0,0) = R(0,0,\alpha+\gamma)$ . Hemos perdido un grado de libertad sólo podemos girar sobre el $z$ -eje. $\mathrm{SU}(2)$ Las representaciones de las rotaciones en el espacio 3 no tienen este problema. Por ejemplo, no importa cómo elijamos $\theta$ no perderemos ningún grado de libertad en $n$ debido a esa elección. Si estás familiarizado con la topología, estas afirmaciones son una consecuencia del hecho de que los tres toros no son un espacio de cobertura de $\mathrm{SO}(3)$ pero que $\mathrm{Spin}(3) = \mathrm{SU}(2)$ es su cubierta universal.

Recomiendo utilizar Wikipedia y Google para saber más sobre este interesante tema.