Cuadratura gaussiana de tres puntos

Question

Derivar las fórmulas de cuadratura gaussiana de uno y dos puntos para $$I=\int^1_0xf(x)dx\approx \sum_{j=1}^nw_jf(x_j)$$ con función de peso $w(x)=x$ .

Que sé cómo hacer y que adjunto a continuación (Volveré a editar esto en algún momento en el futuro borrando mi archivo adjunto y escribiéndolo en LaTex).

Mi pregunta es:

Cómo puedo hacer este problema cuando se pide la cuadratura gaussiana de tres puntos con la función ponderada $x^2$ y cuando $\int^1_0xf(x)dx\approx \sum_{j=1}^3w_jf(x_j)$ ?

Answer 1

Creo que debes seguir el mismo procedimiento que has hecho arriba. $$\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx & \thickapprox w_{1}f(x_{1})+w_{2}f(x_{2})+w_{3}f(x_{3}) \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(x)=1\Longrightarrow w_{1}+w_{2}+w_{3} & =\int_{0}^{1}1.x^{2}dx=1/3\\ f(x)=x\Longrightarrow w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3} & =\int_{0}^{1}x.x^{2}dx=1/4\\ & \vdots\\ f(x)=x^{5}\Longrightarrow w_{1}x_{1}^{5}+w_{2}x_{2}^{5}+w_{3}x_{3}^{5} & =\int_{0}^{1}x^{5}.x^{2}dx=1/8 \end{align*}$$ Así que tienes un sistema no lineal de ecuaciones. Debes resolverlo con un solucionador. $$\begin{align*} \int_{a}^{b}w(x)f(x)dx & \thickapprox \sum_{j=1}^{n} w_{j}f(x_{j}) \end{align*}\qquad (*)$$

Además, como sé en $(*)$ los puntos del nodo $x_i$ son los ceros del polinomio ortogonal de grado n en $[a, b]$ con respecto a la función de peso $w(x)$ .

También, después de algunas investigaciones en Google, entendí que hay algunos paquetes (por ejemplo, "ORTHPOL") que pueden dar reglas de cuadratura de Gauss para funciones de peso arbitrario.

Answer 2

¿Expolar esto a tres puntos? Sigues teniendo un sistema sobredeterminado con 3 puntos y 4 funciones

También puedes considerar el uso de polinomios ortogonales para construir la cuadratura