Demostración de la desigualdad sin cálculo

Question

Así que se nos da la ecuación $3x+4y+xy=2012$ donde $x$ y $y$ son enteros positivos. Demostrar que $x+y\geq83$ .

Utilizando los métodos de optimización del cálculo, esto se puede demostrar. Sin embargo, requiere muchos cálculos difíciles, y no se espera que los estudiantes sepan cálculo para responder a esto. ¿De qué otra forma se podría demostrar esto? Siempre se podría repasar cada valor posible, pero eso llevaría mucho tiempo.

Answer 1

Se puede reordenar la ecuación $3x+4y+xy=2012$ :

\begin{align} 3x+4y+xy\quad =\quad 2012\\ 3x+4y+xy+12\quad =\quad 2024\\ x(y+3)+4y+12\quad =\quad 2024\\ x(y+3)+4(y+3)\quad =\quad 2024\\ (y+3)(x+4)\quad =\quad 2024\\ \end{align}

Y de la desigualdad AM-GM:

$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

Y utilizando $a = x+4$ y $b = y+3$ nos encontramos con que:

\begin{align} \frac{x+4+y+3}{2}&\ge\sqrt{(x+4)(y+3)}\\ \frac{x+y+7}{2}&\ge\sqrt{2024}\\ x+y+7&\ge2\sqrt{2024}\\ x+y&\ge2\sqrt{2024}-7\\ x+y&\ge83 \end{align}

Nota:

\begin{align} {(2\sqrt{2024})}^{2}-{89}^{2} &= 8096-7921>0 \\ 2\sqrt{2024}&>89 \\ 2\sqrt{2024}-7&>82 \\ x+y&>82\\ x+y&\ge 83 \text{ (because x, y are integers) } \end{align}

En general tenemos para $a,b,c\in \mathbb{{C}^{*}}$ :

\begin{align} ax+by+cxy&=x(a+cy)+by\\&=cx\left( y+\frac { a }{ c } \right) +by\\&=cx\left( y+\frac { a }{ c } \right) +by+\frac { ab }{ c } -\frac { ab }{ c } \\ &=cx\left( y+\frac { a }{ c } \right) +b\left( y+\frac { a }{ c } \right) -\frac { ab }{ c } \\&=\left( y+\frac { a }{ c } \right) \left( b+cx \right) -\frac { ab }{ c } \end{align}

Answer 2

Tenemos $$xy +3x +4y +12 =2024$$ así $$(x+4)(y+3) =2024$$ por lo que $$\left(\frac{x+y+7}{2}\right)^2 \geq (x+4)(y+3) =2024 >44.5^2$$ por lo tanto $$\frac{x+y+7}{2} \geq 45 $$

Answer 3

Ya que tenemos $$3x+4y+xy+12=2012+12\Rightarrow (x+4)(y+3)=2024$$ por la desigualdad AM-GM, tenemos $$x+4+y+3=x+4+\frac{2024}{x+4}\ge 2\sqrt{2024}\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt{2024}-7$$ En este caso, observe que $$2024\lt 2025=45^2\Rightarrow \sqrt{2024}\lt 45\Rightarrow 2\sqrt{2024}-7\lt 83$$ y que $$2024\gt 1980.25=(44.5)^2\Rightarrow \sqrt{2024}\gt 44.5\Rightarrow 2\sqrt{2024}-7\gt 82$$

Así, podemos decir $$x+y\ge 83.$$

Answer 4

$$3x+4y+xy=2012$$ es equivalente a: $$ (x+4)(y+3) = 2024 = 2^3\cdot 11\cdot 23$$ (que permite encontrar todas las soluciones enteras) por lo tanto por la desigualdad AM-GM: $$ \frac{(x+4)+(y+3)}{2}\geq \sqrt{(x+4)(y+3)} = \sqrt{2024} $$ Así que..: $$ x+y+7 \geq 2\sqrt{2024} = 89.977775\ldots $$ y como $x,y$ son números enteros, lo que implica que $x+y\geq 83$ como se desea. Ese mínimo se consigue con $x=42,y=41$ o $x=40,y=43$ .