¿Cómo se calcula el área de la sombra?

Question

Si nosotros no puede usar la integral entonces, ¿cómo calcular el área de la sombra? Parece fácil, pero en realidad no ¡Gracias!

Answer 1

Primero encuentra los puntos de intersección de los círculos. Si haces el cuadrado de lado $2$ con el centro en el origen, son $(\frac 14(1-\sqrt 7),\frac 14(1+\sqrt 7))$ y $(\frac 14(1+\sqrt 7),\frac 14(1-\sqrt 7))$ . El segmento de línea entre ellos tiene una longitud $\frac {\sqrt {14}}2$ que da el ángulo de la sector circular de cada círculo. Entonces el área sombreada es la diferencia de área de dos segmentos circulares , una de radio $2$ y uno de radio $1$

Answer 2

Dejemos que $a$ sea un lado del cuadrado. Consideremos el siguiente diagrama

El área que debemos calcular es la siguiente. $$\begin{eqnarray} \color{Black}{\text{Black}}=(\color{blue}{\text{Blue}}+\color{black}{\text{Black}})-\color{blue}{\text{Blue}}. \end{eqnarray}$$

Obsérvese que la zona azul puede calcularse como $$\begin{eqnarray}\color{blue}{\text{Blue}}=\frac14a^2\pi-2\cdot\left(\color{orange}{\text{Yellow}}+\color{red}{\text{Red}}\right).\end{eqnarray}$$

Ya conocemos la mayoría de las longitudes. Lo que nos impide calcular el área negra es la falta de ángulos conocidos. Debido a la simetría, casi cualquier ángulo serviría.

Es bastante fácil calcular los ángulos del triángulo $\begin{eqnarray}\color{orange}{\triangle POA}\end{eqnarray}$ si utilizamos la regla del coseno.

$$\begin{eqnarray} |PA|^2&=&|AO|^2+|PO|^2-2\cdot|AO|\cdot|PO|\cos\angle POA\\ a^2&=&\frac{a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}-2\cdot\frac a2\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\cos\angle POA\\ 4a^2&=&3a^2-2a^2\sqrt2\cos\angle POA\\ 1&=&-2\sqrt2\cos\angle POA\\ \cos\angle POA&=&-\frac{1}{2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{4}. \end{eqnarray}$$

Ahora, por simetría, tenemos $\angle POA=\angle POB$ Así que $\angle AOB=360^\circ-2\angle POA$ . Así que el coseno del ángulo $\angle AOB$ se puede calcular de la siguiente manera: $$\begin{eqnarray} \cos\angle AOB&=&\cos(360^\circ-2\angle POA)=\cos(2\pi-2\angle POA)\\ \cos\angle AOB&=&\cos(-2\angle POA)=\cos(2\angle POA)\\ \cos\angle AOB&=&\cos^2(\angle POA)-\sin^2(\angle POA)\\ \cos\angle AOB&=&\cos^2(\angle POA)-(1-\cos^2(\angle POA))\\ \cos\angle AOB&=&2\cos^2(\angle POA)-1\\ \cos\angle AOB&=&2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{4}\right)^2-1=-\frac34\\ \end{eqnarray}$$

A partir de esto, podemos calcular fácilmente el seno del ángulo $\angle AOB$ utilizando la identidad pitagórica. $$ \sin\angle AOB=\sqrt{1-\frac9{16}}=\sqrt\frac{16-9}{16}=\frac{\sqrt7}4 $$

Siguiendo este camino, creo que no es difícil calcular otros ángulos y utilizar fórmulas conocidas de tipo trigonométrico para el área. Luego se puede empaquetar fácilmente usando la primera ecuación con colores.

Answer 3

Supongamos un cuadrado de lado $2$ para simplificar. Denotemos las distintas subáreas como $A, B, \ldots, H$ de arriba a abajo, de izquierda a derecha. Así, la zona sombreada es $C$ el disco pequeño es $C+D=\pi$ el gran disco de un cuarto es $\pi = A+E+G+H$ . Tenga en cuenta que $A+B=F+H=D=G=1-\frac\pi 4$ .

Localizamos el vértice derecho de $A$ medido desde el centro resolviendo $x^2+y^2=1$ y $(1+y)^2+(1+x)^2=4$ , lo que implica $$x+y=\frac{(1+y^2)+(1+x)^2-(x^2+y^2)-2}2=\frac12$$ y luego $x^2+(\frac12-x)^2=1$ Por lo tanto $x=\frac{1\pm\sqrt 7}4$ y por la consideración de los signos, $$ x=\frac{1-\sqrt 7}4, \quad y=\frac{1+\sqrt 7}4.$$ Ahora $B$ puede calcularse como la diferencia de un rectángulo $1\times (1-y) =\frac{3-\sqrt 7}4$ y las mitades de segmentos circulares. Pero para estos segmentos (utilizando, por ejemplo, la fórmula $ r^2\arccos(1-\frac hr)-(r-h)\sqrt{(2r-h)h}$ para el área de un segmento), ¡necesitamos calcular algunos ángulos! Dudo que algo mejor que el $\arccos$ se puede encontrar la expresión para estos ángulos (es decir, son no un múltiplo racional de $\pi$ ). Habiendo obtenido así una expresión $$B=a+b\sqrt 7+c\arccos\frac{1+\sqrt 7}4+d\arccos\frac{5+\sqrt 7}8$$ con $a,b,c,d$ racional, finalmente encontramos $$C = A+G+H = 3G-2B = 3-\frac34\pi -2B. $$

Answer 4

EDITAR: Lo siento, esto tiene un error... He resuelto con un $2E$ en lugar de un $3E$ .

Denotemos las esquinas de este cuadrado unitario por $X,Y,Z,W$ y dibujar los círculos de radios unitarios con centros en $X$ , $Y$ , $Z$ y $W$ .

Si haces esto, tu plaza se divide en 21 regiones. Denote la región central por $C$ . Denote las cabezas de flecha por $E$ . Denote los "otros bits" en el borde por $D$ , las cosas que parecen anuladas por $A$ y las otras partes --- los sombreros redondos de $B$ :

Ahora el área total es

$$4A+4B+C+8D+4E\overset{!}{=}1,$$

el área del pequeño círculo es

$$4A+4B+C\overset{!}{=}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2,$$

y el área de un cuarto de uno de esos círculos unitarios es

$$3A+2B+C+4D+3E\overset{!}{=}\frac{1}{4}\pi(1)^2.$$

Ahora resuelve estas ecuaciones para $A$ y $B$ en términos de $C$ que debería ser posible. Ahora el área que se busca es $A+2B$ ... resulta que esto EDITAR TIENE $E$ dependencia y te quedas con

$$\frac{4-\pi}{8}+E.$$