Deje $f(x)=a_x$. La estricta monotonía hipótesis puede escribirse como
$f(j)-f(i) \geq j-i$ cualquier $i<j$.
Denotar por $\Omega$ el conjunto de todos los enteros $x \geq 1$ tal que
$f(x)=x$. Desde $f$ es estrictamente monótona, $\Omega$ es "convexo" :
si $a<b$$\Omega$, entonces todos los números enteros entre el $a$ $b$
están en $\Omega$ también.
También, $\Omega$ es débilmente multiplicativo : si $a,b\in \Omega$ son coprime,
a continuación,$ab\in \Omega$.
Tenemos $f(15)=f(3)f(5)$$f(18)=2f(9)$, lo $2f(9) \geq f(3)f(5)+3$ por
estricto de la monotonía. Por otro lado, $f(10)=2f(5)$ y por lo tanto
$2f(5) \geq f(9)+1$ por estricto de la monotonía. La combinación de esas dos desigualdades,
$$
4f(5) \geq 2f(9)+2 \geq f(3)f(5)+5 \gt f(3)f(5)
$$
Esto implica $4 \gt f(3)$, lo $f(3)=3$ y, por tanto,$3\in \Omega$.
Por lo $6=2\times 3 \in \Omega$ desde $\Omega$ es débilmente multiplicativo.
A continuación, $2\in \Omega,6\in \Omega$ rendimientos $[2,6] \subseteq \Omega$ desde $\Omega$ es convexa.
Por lo $15=3\times 5 \in \Omega$ desde $\Omega$ es débilmente multiplicativo.
A continuación, $2\in \Omega,15\in \Omega$ rendimientos $[2,15] \subseteq \Omega$ desde $\Omega$ es convexa.
Por lo $42=3\times 14 \in \Omega$ desde $\Omega$ es débilmente multiplicativo.
A continuación, $2\in \Omega,42\in \Omega$ rendimientos $[2,42] \subseteq \Omega$ desde $\Omega$ es convexa.
Más generalmente, si definimos una secuencia $(u_k)$$u_1=5$$u_{k+1}=3u_k-1$, por inducción, todos los $u_k$$\Omega$, qed.
ACTUALIZACIÓN (en respuesta a un comentario) Aquí es cómo funciona la inducción :
Supongamos $u_k \in \Omega$. Como $u_k$ es congruente a $2$ modulo $3$, es coprime
a $3$, lo $3u_k \in \Omega$ desde $\Omega$ es débilmente multiplicativo. A continuación, $2$
y $3u_k$ están en $\Omega$, lo $[2,3u_k] \subseteq \Omega$ desde $\Omega$ es convexa.
En particular, $3u_k-1 \in \Omega$, es decir,$u_{k+1} \in \Omega$. Por lo $\Omega$ contiene todas las $u_k$ y, finalmente, $\Omega$ contiene todos los enteros positivos.
