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Que los resultados dependen de la irracionalidad de la $\pi$?

Recientemente la siguiente interesante reloj de la imagen fue publicada por uno de mis no-matemáticamente inclinado amigos a mi facebook de la pared, diciendo que era divertido y posiblemente pensando que me sería divertido demasiado (sólo espero que nunca llegue a ver a esta pregunta).

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Por supuesto, la primera cosa que noté fue el error bruto en las 9 horas-reloj. Pero luego esta el error que me puso a pensar qué pasaría si $\pi$ eran de un número racional. Con esto quiero decir,

Qué tipo de resultados importantes, depende crucialmente de la irracionalidad de la $\pi$?

El único ejemplo que yo era capaz de llegar con la buena griego antiguo problema de la cuadratura del círculo, que básicamente pide la constructibility de $\sqrt{\pi}$ y por lo tanto si $\pi$ fueron racional, su raíz cuadrada sería edificable y por lo tanto el problema no sería imposible.

NOTA

He editado la pregunta del título y una parte de mi pregunta, ya que como se señala en algunos de los comentarios, que parte no tenía mucho sentido. Aunque yo no sabía que en el momento, así que no fue tan malo que yo incluido que es una "tontería" en mi pregunta en primer lugar. Pero como Bruno respuesta explica, en alguna parte de mi original malentendido puede ser dado un poco de sentido después de todo.

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QuentinUK Puntos 116

Edit: la pregunta fue cambiado por el tiempo que había terminado de escribir este post, pero lo voy a dejar.

Voy a decir que esta pregunta, como yo lo interpreto, en realidad no tiene mucho sentido. Al menos, no es un problema matemático. Desde mi entender, puede ser interpretado de dos maneras diferentes (de la cual estoy redacción muy libremente):

  1. Podría $\pi$ tienen un valor diferente?
  2. En un Universo diferente, podría $\pi$ tienen un valor diferente?

La pregunta 1, que creo que es el que quería preguntar, tiene una respuesta simple: matemáticas sería inconsistente, como señala Brian en los comentarios. La simple razón es que el $\pi$ puede ser demostrado ser irracional (y de hecho trascendental), por lo tanto, si nosotros podría también demostrar que es racional, estaríamos en un gran problema.

La pregunta 2 es más interesante, pero requiere de un poco de interpretación. Podemos definir a la $\pi$ a ser la circunferencia de un círculo de diámetro $1$ en el plano Euclidiano. Podemos imitar a esta definición, cambiando las reglas del juego un poco. Por ejemplo, si queremos cambiar la métrica en el avión, luego de un "círculo" toma un nuevo significado. Por ejemplo, en el taxi métrica, un círculo de diámetro $1$ es simplemente un cuadrado con lado de longitud $1$, y su circunferencia es de $4$. Así, en un taxi Universo, $\pi$ tendría diferentes (y racional!) valor, pero eso es simplemente porque habría una definición diferente...

También hay espacios en los que la circunferencia de un círculo de radio fijo varía con la posición del círculo en el espacio.

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