Demostrando que $\ln ^3|x|=x$ tiene exactamente 3 soluciones reales

Question

Demostrar que $$\ln ^3|x|=x$$ Tiene exactamente 3 soluciones reales.

Hasta ahora mi idea es mirar por separado en$x>0$$x<0$, pero todavía estoy atascado con el ex.

Deje $$f(x)=\ln^3|x|-x$$ Asumiendo $x>0$$\lim_{x\to0^+}=-\infty$$\lim_{x\to\infty}=-\infty$, y como $f(e^2)>0$ sabemos por el teorema del valor intermedio que tenemos, al menos, dos soluciones positivas.

Del mismo modo, asumiendo $x<0$ $\lim_{x\to0^-}=-\infty$ $\lim_{x\to-\infty}=\infty$ Hay al menos una de las soluciones.

Pero estoy atrapado en el demostrando que hay en la mayoría de las dos soluciones soluciones positivas y una negativa, como, por ejemplo asumiendo $x>0$ cuando se mira en el derivado. $$f'(x)=\frac{3\ln^2(x)}{x}-1$$

Tiene un mínimo en $x=1$, el máximo en $x=e^2$, y por los límites en $0$ y el infinito resulta que tengo 3 soluciones, por lo que no se puede utilizar el Valor medio el teorema de probarlo, y realmente no sé de ninguna otra manera de hacerlo.

¿Qué otros métodos se pueden utilizar para demostrar la unicidad de las soluciones aquí?

Answer 1

Para $x<0$, usted tiene $y=\ln|x|$ un monótonamente decreciente de la función que visitas todos los reales. Es obvio que intersecta $y=x$, que es monótonamente creciente, de una vez y sólo una vez.

Para $x>0$, se puede restringir a $x>1$ (a causa de los signos). Creo que esto le ayudará a limitar el número de soluciones. En el intervalo de $x\in(1,e^2)$, la función de $\ln^3 x-x$ tiene al menos un cero, porque es negativa a la izquierda y los positivos a la derecha de la frontera. Porque también es convexa en este intervalo, no se puede tener más de un cero. El mismo argumento funciona para $x\in(e^2,\infty)$.

Answer 2

SUGERENCIA:

Quieres saber cómo se $f(x) = \log^3 x - x$ (x>0) varía, mira su derivado $-1 + \frac{3 \log^2 x}{x}$. El signo no está claro, así que busque en el segundo derivado $\frac{3 (\log x -2) \log x}{x^2}$ cuyo signo es fácil de entender.

OK, así que podemos ver que los ceros de $f''$$1$$e^2$. En los intervalos de $(0,1)$, $(1,e^2)$, $(e^2, \infty)$ los signos de $f''$ $-$,$+$, $-$. Por lo tanto, en los intervalos de $(0, 1]$, $[1,e^2]$ respectivamente, $[e^2, \infty)$ la función de $f'$ es estrictamente decreciente, creciente, respectivamente disminuyendo. Los valores de $f'$$1$$e^2$$-1<0$$-1 + \frac{12}{e^2} > 0$. Por otra parte, $\lim_{x \to 0} f'(x) = \infty$$\lim_{x\to \infty} f'(x)= -1$. Por lo tanto, $f'$ tiene exactamente tres raíces, una en el intervalo de $(0,1)$ , en el intervalo de $(1,e^2)$ y uno en el intervalo de $(e^2, \infty)$. Vamos a denotar por ellos $c_1$, $c_2$, y $c_3$. Por lo $f$ es estrictamente creciente en a $(0, c_1]$, disminuyendo en $[c_1, c_2]$, con un incremento en $[c_2, c_3]$ y disminuyendo en $[c_3, \infty)$. Se verifica que $f(c_1) < 0$, $f(c_2) < 0$ y $f(c_3) >0$. De hecho, en $(0,1)$ $f$ es claramente negativo, por lo $f(c_1) < 0$. A continuación,$f(c_2) < f(c_1) < 0$. En $[c_2, c_3]$ $f$ es estrictamente creciente para $f(c_3) > f(e^2) > 0$. Por otra parte, $\lim_{x \to \infty} f(x)= - \infty$. Ahora es claro que $f$ tiene exactamente dos raíces, una en $(c_2, c_3)$ y una en $(c_3, \infty)$.

Parcela $f$, $f'$ y $f''$, una vez más a $0$, y una vez alrededor de $100$ y consulte todas las anteriores.