Ejemplo de un espacio no Hausdorff

Question

Por ejemplo, el ejemplo más sencillo de un espacio topológico no Hausdorff es el par $(X, \tau_X)$ donde $\tau_X = \{ X, \varnothing \}$ . Pero esto es aburrido. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar ejemplos más interesantes?

Answer 1

Quizá lo más fácil de visualizar sea el línea con dos orígenes que se da simplemente pegando dos líneas reales, punto por punto, excepto los orígenes de ambas líneas. Me gusta pensar en la línea con dos orígenes como si se tomara la línea real y se "pinchara" en el origen, pero con un agujero "demasiado pequeño para verlo".

Más concretamente, definimos $l$ para ser el espacio $$l=(\mathbb{R}_1\sqcup\mathbb{R}_2)/{\sim}$$ donde $(x,1)\sim (x,2)$ para todos $x\neq 0$ .

La razón $l$ no es Hausdorff es porque los conjuntos abiertos alrededor de cualquiera de los orígenes, que ahora llamaremos simplemente $0_1$ y $0_2$ contiene intervalos cerrados arbitrariamente pequeños del tipo $(0,\epsilon)$ . En el sentido topológico amplio de convergencia de secuencias, podemos decir que una secuencia de puntos en $l\setminus\{0_1,0_2\}$ converge a $0_1$ si y sólo si también converge a $0_2$ . Este fenómeno no puede darse en los espacios de Hausdorff (secuencia que converge a un conjunto con más de un elemento).

Esta idea de pegar los espacios de Hausdorff en todas partes, excepto en algún subconjunto cerrado, es una buena manera de crear espacios no Hausdorff que, en cierto sentido, "nos resultan familiares", casi podemos visualizarlos.

Answer 2

Hay muchos ejemplos que se te pueden ocurrir; mira, por ejemplo, el de Ian en los comentarios.

Para no perderme en los detalles, voy a ser un poco flojo en mis descripciones. Una topología importante que no es de Hausdorff y que surge de forma muy natural es la Topología de Zariski en la geometría algebraica. Es más fácil definirlo en términos de conjuntos cerrados (podemos decir que un conjunto es abierto si su complemento es cerrado, así que esto está perfectamente bien). Empecemos con, por ejemplo, , $\Bbb R^2$ . Un conjunto algebraico en $\Bbb R^2$ es un conjunto de puntos que satisfacen algún conjunto de ecuaciones polinómicas (donde los polinomios tienen coeficientes en $\Bbb R$ ). Cualquier punto dado es cerrado, ya que podemos elegir el conjunto de polinomios para ser $\{x-a=0,y-b=0\}$ el único punto en el conjunto cero de ambas ecuaciones es $(a,b)$ . Por supuesto, las curvas definidas por polinomios son conjuntos cerrados: digamos, $y^2-x^3-5x=0$ . Definimos que un conjunto es cerrado en la topología de Zariski si hay algún conjunto finito de polinomios tal que el conjunto cero de esos polinomios es exactamente nuestro conjunto.

Esta topología no es Hausdorff (es hora de hacer una demostración a mano; sáltese si quiere); si escogemos dos puntos, seguramente podríamos encontrar conjuntos abiertos que contengan uno pero no el otro. Sin embargo, los conjuntos abiertos (en la topología de Zariski sobre $\Bbb R^2$ ) son los complementos de uniones finitas de curvas. Esto significa que la gran mayoría de $\mathbb{R}^2$ está en nuestro conjunto abierto; en términos de la teoría de la medida, todos nuestros conjuntos cerrados (no en el espacio entero) tienen medida $0$ (en la medida de Lebesgue sobre $\Bbb R^2$ ). Entonces no podemos elegir dos conjuntos disjuntos que contengan cada uno exactamente uno de nuestros puntos: la intersección de éstos es también un conjunto abierto, pero claramente no el conjunto vacío, ya que nuestros conjuntos abiertos cubren mutuamente la gran mayoría del plano.

Answer 3

Un espacio pseudo métrico, es decir, un conjunto con una métrica en la que la distancia entre dos puntos distintos también puede ser 0, no tiene por qué ser Haussdorf. Por ejemplo, consideremos los números reales con un elemento positivo infinitesimal ε, tal que no hay nada entre ε y 0. Entonces cualquier bola abierta (en la pseudo métrica) que contenga a 0 también contendrá a ε, ya que d(0, ε) = 0, y por tanto la condición de Haussdorf falla. Cualquier secuencia que converja a ε también convergerá a 0.

Answer 4

Para definir la semicontinuidad inferior, es posible introducir la siguiente topología no Hausdorff (pero de Kolmogorov): $$\mathcal{T} = \{ [a,+ \infty) \mid a \in \mathbb{R} \} \cup \{ \emptyset \}.$$ Así, una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es semicontinuo inferior si es continuo con respecto a $\mathcal{T}$ .

Answer 5

Un ejemplo interesante que se extrae para la teoría de $L^0$ -módulos:

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y una partición infinita $\left\{ A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ de $\Omega$ con $A_{n}\in\mathcal{F}$ y $\mathbb{P}(A_n)>0$ (por ejemplo, $\Omega=(0,1)$ , $\mathcal{F}=\mathcal{B}(\Omega)$ el $\sigma$ -álgebra de Borel, $A_{n}=[\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}})$ con $n\in\mathbb{N}$ y $\mathbb{P}$ la medida de Lebesgue).

Dejemos que $\varepsilon\in L_{++}^{0}$ . Definimos el conjunto

$U_{\varepsilon}:=\left\{ Y\in L^{0};\:\exists\, I\subset\mathbb{N}{ finite, }\left|Y1_{A_{i}}\right|\leq\varepsilon\:\forall\, i\in\mathbb{N}-I\right\}.$

Entonces, para todos los $Y\in L^{0}$ , $\mathcal{\mathcal{U}}_{Y}:=\left\{ Y+U_{\varepsilon};\:\varepsilon\in L_{++}^{0}\right\}$ es una base de vecindad de $Y$ . Así, se puede definir una topología sobre $L^{0}$ que no es Hausdorff. Además, es un localmente $L^0$ -que no puede ser inducida para ninguna familia de $L^0$ -seminarías.

Para más información, consulte:

J.M. Zapata. "Sobre la caracterización de las $L^ 0$ -topologías convexas inducidas por una familia de $L^ 0$ -arXiv preprint arXiv:1404.0357 (2014).