$ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(f(x)) }{f^{-1}(x)}$

Question

Supongamos que $f \in \mathcal{C} ^1 \ ([0,1])$ y que $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x^2)}{\sqrt {3}x^2} = 1$ .

Encuentre $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(f(x)) }{f^{-1}(x)}$ .

No sé por dónde empezar. No dicen si $\lim_{x \to 0^+} f(2x^2) = 0$ Así es $f(2x^2) \sim \sqrt {3} x^2 $ ?

Tampoco sé cómo tratar la función inversa.

Cualquier ayuda sería muy apreciada, especialmente la explicación del razonamiento detrás del método.

Answer 1

El hecho de que $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x^2)}{\sqrt {3}x^2} = 1$ implica que el $\lim_{x \to 0^+}f(2x^2) = 0$ . Desde $f$ es continua, lo que a su vez implica que $f(0) = 0$ .

Ya que nos dan la función invertible, presumiblemente, $f$ debe ser invertible, es decir que es al menos uno a uno. Así que, en particular, tenemos $f^{-1}(0) = 0$ . No nos dicen explícitamente lo "agradable" $f^{-1}$ es, así que voy a tratar de conseguir asumiendo sólo que $f^{-1}$ es continua.

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Ahora: para tratar el límite en cuestión, haremos la sustitución $x = f(y)$ para darnos el nuevo límite $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(f(x)) }{f^{-1}(x)} = \lim_{y \to 0^+} \frac{f(f(f(y))) }{y} $$ Intenta justificar ante ti mismo que estos dos límites son los mismos. Ahora podemos reescribir el segundo límite como $$ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(f(f(0+h))) - f(f(f(0)))}{h} = \left. \frac {d}{dx^+}[f(f(f(x)))] \right|_{x = 0} $$ Ahora está claro por qué queríamos tener $f \in \mathcal C^1$ . Recuerda que la regla de la cadena nos da $$ \frac {d}{dx}[f(f(f(x)))] = f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x) $$ Todo lo que queda, entonces, es encontrar $f'(0)$ .

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Obsérvese que aplicando la regla de L'Hôpital al límite que se nos da se obtiene $$ 1 = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x^2)}{\sqrt {3}x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(2x^2) \cdot 4x}{2\sqrt {3}x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{\sqrt{3}} f'(2x) = \frac 2{\sqrt 3} f'(0) $$ O, alternativamente, tomando la sustitución $u = 2x^2$ nos da $$ 1 = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(u)}{(\sqrt{3}/2)u} = \frac 2{\sqrt 3} \lim_{u \to 0^+} \frac{f(u)}u = \frac 2{\sqrt 3} f'(0) $$

Answer 2

$$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x^2)}{\sqrt {3}x^2} = 1 $$ implica $$f(x) = \frac{\sqrt 3}{2} x + \cdots, \quad f^{-1}(y) = \frac2{\sqrt 3}y+\cdots .$$ entonces también tenemos $$f(f(x)) = \frac34 x+\cdots $$

por lo tanto $$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(f(x)) }{f^{-1}(x)}=\lim_{x \to 0+}\frac{3x/4+\cdots}{2x/\sqrt 3+\cdots} =\frac{3\sqrt 3}8.$$

Answer 3

Es fácil comprobar que $f'(0)=\frac{\sqrt3}2$ y $f(0)=0=f^{-1}(0)=f(f(0))$

Así que.., $\lim_{x\to0} \frac{f(f(x))}{f^{-1}(x)}$ = $\lim_{x\to0} \frac{f(f(x))-f(f(0))}{x-0}\frac 1 {\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(0)}{x-0}}$ = $\frac{(f'(0))^2}{(f^{-1})'(0)}$

y $(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)}$ donde $y=f(x)$ es decir $(f^{-1})'(0)=\frac1{f'(0)}$

Answer 4

Si $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(2x^2)}{\sqrt {3}x^2} = 1$ entonces $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(2x^2) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt {3}x^2$ . Críticamente, el límite original se acercó $0^+$ por lo que ignoramos la posibilidad de que $x$ es negativo, por lo que $\displaystyle\lim_{y \to 0^+}f(y) = \lim_{y \to 0^+}\dfrac{\sqrt{3} } {2} y$ .

Por definición, $f^{-1}(f(y)) = f(f^{-1}(y)) = y$ Por lo tanto $\displaystyle\lim_{y \to 0^+}\dfrac{\sqrt{3}}{2} f^{-1}(y) = \lim_{y \to 0^+}y$ . Tenga en cuenta que $f(y)$ es bastante aburrido (de un solo valor) dentro del límite.

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(f(x)) }{f^{-1}(x)}$ se deduce trivialmente.

Recuerda que puedes operar algebraicamente dentro del límite y cómo se definen las funciones inversas.