En John Lee el libro de Introducción a la Suave Colectores, es el siguiente Teorema.
Teorema 7.35 (Caracterización de Semidirect Productos). Supongamos $G$ es una Mentira grupo, y $N,H\subseteq G$ están cerrados Mentira subgrupos tal que $N$ es normal, $N\cap H=\{e\}$, e $NH=G$. A continuación, el mapa de $(n,h)\mapsto nh$ es una Mentira grupo de isomorfismo entre el $N\rtimes_\theta H$ $G$ donde $\theta:H\times N\to N$ es la acción por la conjugación: $\theta_h(n)=hnh^{-1}$.
La prueba se deja como un ejercicio así que no puedo comprobar si estoy en lo correcto, pero creo que no es necesario asumir que $H$ es un cerrado Mentira subgrupo. Parece que sólo necesitamos $H$ es una inmerso Mentira subgrupo de $G$ (sino $N$ todavía necesita ser cerrado). Estoy en lo cierto?
Aquí está mi prueba sin asumir que $H$ se cierra:
Prueba. Primero mostramos que la $\theta$ es suave. Desde $N$ es normal, tenemos $\theta_h(H\times N)\subseteq N$. Por otra parte, $N$ es un integrado submanifold de $G$ ya que es cerrado (Teorema 7.21), y $H\times N$ es una inmerso submanifold de $G\times G$, por lo que la conjugación mapa $C:G\times G\to G$, $C(a,b)=aba^{-1}$ restringe a un suave mapa de $\theta:H\times N\to N$ (Corolarios 5.27 y 5.30). Por otra parte, para cada $h\in H$, $\theta_h:N\to N$ es una Mentira grupo de isomorfismo, por lo $\theta$ es una acción automorfismos y por lo tanto define un semi-producto directo de $N\rtimes_\theta H$. Ahora, el mapa $$F:N\rtimes_\theta H\to G,\quad F(n,h)=nh$$ es suave, ya que es la restricción de la multiplicación de mapa de $m:G\times G\to G$ a la inmersión de los submanifold $N\times H$$G\times G$. Por otra parte, $F$ es una Mentira grupo homomorphism desde $$F((n,h)(n',h'))=F(nhn'h^{-1},hh')=nhn'h^{-1}hh'=nhn'h'=F(n,h)F(n',h').$$ Por lo tanto, $F$ tiene rango constante (Teorema 7.5), por el Mundial de Rango Teorema, para mostrar que no es un diffeomorphism basta para mostrar que es bijective. Pero si $F(n,h)=nh=e$, $h^{-1}nh=h^{-1}\in N\cap H=\{e\}$, lo $h=e$$n=e$. Por lo tanto, $F$ es inyectiva, y también surjective desde $NH=G$. $\tag{Q.E.D.}$
