Un límite superior en ciertas series trigonométricas finitas dado un límite inferior

Question

Sea $f$ sea la función $f(x)=1+a\sin{x}+b\cos x+c\sin{(2x)}+d\cos{(2x)}$ donde $a,b,c,d$ son números reales arbitrarios. Demostrar que si $f(x)>0$ para todos $x\in \mathbb R$ entonces $f(x)<3$ para todos $x\in \mathbb R$ .

Mi intento: \begin{align*}f(x)&=1+a\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+b\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+c\dfrac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}+d\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}\\ &=1+e^{ix}\left(\dfrac{a}{2i}+\dfrac{b}{2}\right)+e^{-ix}\left(-\dfrac{a}{2i}+\dfrac{b}{2}\right)+e^{2ix}\left(\dfrac{c}{2i}+\dfrac{d}{2}\right)+e^{-2ix}\left(\dfrac{d}{2}-\dfrac{c}{2i}\right). \end{align*}

No veo cómo proceder a partir de ahí. Muchas gracias.

Answer 1

Hoy, he resuelto este problema.

sólo observamos que este problema tiene la siguiente forma $$f\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)+f(x)+f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=3$$

porque el uso $$\sin{(x+y)}+\sin{(x-y)}=2\sin{x}\cos{x}$$ $$\cos{(x+y)}+\cos{(x-y)}=2\cos{x}\cos{y}$$ $$\Longrightarrow \sin{(x-\dfrac{2\pi}{3})}+\sin{(x+\dfrac{2\pi}{3})}=-sin{x}$$ $$\cdots\cdots$$ $$\cos{(2x+\dfrac{4\pi}{3})}+\cos{(2x-\dfrac{4\pi}{3})}=-\cos{(2x)}$$ así que $$\sin{(x-\dfrac{2\pi}{3})}+\sin{x}+\sin{(x+\dfrac{2\pi}{3})}=0$$ $$\cos{(x-\dfrac{2\pi}{3})}+\cos{x}+\cos{(x+\dfrac{2\pi}{3})}=0$$ $$\sin{(2x-\dfrac{4\pi}{3})}+\sin{2x}+\sin{(2x+\dfrac{4\pi}{3})}=0$$

$$\cos{(2x-\dfrac{4\pi}{3})}+\cos{2x}+\cos{(2x+\dfrac{4\pi}{3})}=0$$

Answer 2

Como mencionó obareey en los comentarios a la pregunta, una suma (finita) de ondas sinusoidales de la misma frecuencia es de nuevo una onda sinusoidal de esa frecuencia . En particular, tenemos $$\begin{align} a \sin x + b \cos x &= \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x + \phi_1) \\ c \sin 2x + d \cos 2x &= \sqrt{c^2 + d^2} \cos(2x + \phi_2) \end{align}$$ para algunos $\phi_1, \phi_2 \in \mathbb R$ . Denotemos $\alpha := \sqrt{a^2 + b^2}$ , $\beta := \sqrt{c^2 + d^2}$ y $$ g(x) := \alpha \cos(x + \phi_1) + \beta \cos(2x + \phi_2) = f(x) - 1. $$ Basta con demostrar que si existe un $x^* \in \mathbb R$ tal que $g(x^*) \geq 2$ entonces existe un $x' \in \mathbb R$ tal que $g(x') \leq -1$ .

Para demostrarlo, obsérvese en primer lugar que, puesto que $\alpha, \beta \geq 0$ y $\cos \leq 1$ tenemos $\alpha + \beta \geq g(x^*) \geq 2$ . A continuación, consideremos los conjuntos $$\textstyle S := \{ x \in \mathbb{R} : \cos(x + \phi_1) \leq -\frac{1}{2}\} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[2\pi k - \phi_1 + \frac{2\pi}{3}, 2\pi k - \phi_1 + \frac{4\pi}{3}\right] \\\textstyle T := \{ x \in \mathbb{R} : \cos(2x + \phi_2) \leq -\frac{1}{2}\} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[\pi k - \frac{\phi_2}{2} + \frac{\pi}{3}, \pi k - \frac{\phi_2}{2} + \frac{2\pi}{3}\right]. $$ Observe que $S$ se compone de cerrado intervalos de longitud $2\pi/3$ mientras que $$\textstyle \mathbb R \setminus T = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(\pi k - \frac{\phi_2}{2} - \frac{\pi}{3}, \pi k - \frac{\phi_2}{2} + \frac{\pi}{3}\right) $$ se compone de abra intervalos de longitud $2\pi/3$ . Así $S \not\subseteq \mathbb{R} \setminus T$ lo que significa que $S \cap T \neq \varnothing$ . Si ahora elegimos un $x' \in S \cap T$ entonces $g(x') \leq -\frac{1}{2}(\alpha + \beta) \leq -1$ según se desee.