¿Por qué es $\mathbb{F}_{p}\subseteq\mathbb{F}_{p^{k}}$ una extensión de campo?

Question

En nuestro curso de álgebra nuestro profesor dijo, durante el comienzo de un capítulo sobre la extensión de campo, que $\left[\mathbb{F}_{p^{k}}:\mathbb{F}_{p}\right]=k$ (donde $p$ es obviamente prime).

Mi pregunta es: ¿por Qué podemos incluso suponer que $\mathbb{F}_{p}$ es un subcampo de la $\mathbb{F}_{p^k}$ ?

$\mathbb{F}_{p}$ no es cerrado bajo la restricción de la multiplicación en $\mathbb{F}_{p^{k}}$ a $\mathbb{F}_{p}$, lo $\mathbb{F}_{p}$ no se forma un subcampo (por ejemplo, para $1,2\in\mathbb{F}_{3}\subseteq\mathbb{F}_{3^{2}}$ tenemos que $2+1=3\in\mathbb{F}_{3^{2}}$ e no $0$, como debe ser obtener en $\mathbb{F}_{3}$), por lo que en mi opinión ni siquiera podemos hablar acerca de $\left[\mathbb{F}_{p^{k}}:\mathbb{F}_{p}\right]$, ya que definido esto sólo para el campo de extensión (me doy cuenta de que todavía podemos hablar de $\left[F:G\right]$, si definimos esta en una más general camino sólo para campos de $F,G$ tal que $F$ $G$- espacio vectorial; pero en ese caso yo estaría molesto por la slopiness de nuestro curso).

Answer 1

Cada campo tiene$1$. En un campo finito, $1+1+\cdots+1=n$ el tiempo debe ser $0$ de las grandes suficientemente $n$. El más pequeño de tales $n$ no puede ser compuesto o tendría cero divisores. Si $n$ es un primer distinta de $p$, entonces a partir de la $\gcd(p^k,n)=1$, podríamos concluir $1=0$$s\ p^k+t\ n=1$. Por lo $1, 2, 3, \ldots, p-1$ son todos dentro de $\mathbb{F}_{p^k}$ y un valor distinto de cero, con $p=0$. Estos elementos se agregan juntos como usted espera. Además, puesto que la multiplicación por un número entero es sólo la suma repetida, también se multiplican como sería de esperar. Y no es su $\mathbb{F}_p\subset\mathbb{F}_{p^k}$.

Answer 2

$\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$ es una extensión de campo $ \iff m|n$

1.) $\mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$ es una extensión $ \Rightarrow m|n$

$\mathbb{F}_{p^m}^* = <\alpha>$

$\mathbb{F}_{p^n}^* = <\beta>$

así que tenemos (y esto es trivial):

$\mathbb{F}_{p^m} = \mathbb{Z}_p[\alpha]$

$\mathbb{F}_{p^n} = \mathbb{Z}_p[\beta]$

Por lo tanto:

$\mathbb{Z}_p[\alpha] \subseteq \mathbb{Z}_p[\beta]$ es un campo de extensión, por lo que

$\left[ \mathbb{Z}_p[\alpha] :\mathbb{Z}_p \right] | \left[ \mathbb{Z}_p[\beta] :\mathbb{Z}_p \right]$

así: $m | n$

2.) $m|n \Rightarrow \mathbb{F}_{p^m} \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$ es una extensión

podemos demostrar que $\alpha \in \mathbb{Z}_p[\beta]$:

$n = k \times m$ con la inducción sobre k podemos demostrar que $\alpha^{p^n} - \alpha = 0$

Hecho: si $k = 1$ es trivial debido a que $\alpha^{p^m} - \alpha = 0$, por definición, de $\mathbb{F}_{p^m}$

$\alpha^{p^{(k + 1)\times m}}= (\alpha^{p^{k\times m}}) ^ {p^m} = \alpha^{p^m} = \alpha$

Así que hemos terminado.