Probabilidad de elegir 3 números en secuencia, con k selecciones aleatorias

Question

Estoy luchando un poco con este problema, creo que de alguna manera estoy cerca pero me falta algo.

Supongamos que tenemos números de $1$ a $30$ elegimos $5$ números aleatorios (con repetición) y queremos saber la probabilidad de elegir al menos $3$ números en secuencia.

Denominador : El número total de combinaciones sin la repetición debe ser $$30!/(5!*(30-5)!)$$

y con repetición: ( 5 5 6 7 8 ) es una secuencia válida, esto es lo que realmente me interesa

$$(30+5-1)!/(5!*(30-1)!)$$

Numerador : Debo conseguir las formas de elegir $5$ números en los que al menos $3$ están en una secuencia. Hay $28$ maneras de elegir $3$ números seguidos, si tan sólo eligiéramos $3$ pero con $5$ Tengo el problema.

Mi enfoque es $28$ $+$ la forma de elegir el otro $2$ números, es decir $C(30+2-1,2)$

El fallo aquí creo que es que creo que estoy contando dos veces algunas combinaciones.

¿Cómo puedo obtener el número de combinación de picking $3$ números consecutivos con $5$ ¿Picos?

Edita: Para aclarar la repetición está permitida, así que $5\; 5\; 6\; 7\; 8$ es una elección válida. El orden no es importante, así que $5$ $5$ $6$ $7$ $8$ es lo mismo que $6$ $7$ $8$ $5$ $5$ .

Answer 1

Esta respuesta analiza la situación en la que dibujamos con sustitución y con orden.

Dibujamos $(x_1,\ldots,x_5)\in\{1,\ldots,30\}^5$ y están interesados en $$ N = \#\left\{(x_1,\ldots,x_5)\in\{1,\ldots,30\}^5 \mid \exists i\in\{1,2,3\}\quad\text{st}\quad x_{i+2}=x_{i+1}+1 = x_{i} + 2\right\} $$ Como usted ha dicho tenemos 28 maneras de elegir 3 números consecutivos de $\{1,\ldots,30\}$ . Dado que tenemos 3 números consecutivos en un lugar concreto somos libres de elegir los otros dos números como queramos. Así, para cada $i\in\{1,2,3\}$ tenemos $28\cdot30^2$ combinaciones posibles que tienen 3 números consecutivos en $x_i,x_{i+1},x_{i+2}$ .

Ahora observa que la cantidad total de combinaciones es inferior a $3\cdot28\cdot30^2$ . Por ejemplo $(1,2,3,4,30)$ se cuenta dos veces, ya que tiene tres números consecutivos para $i=1$ y $i=2$ . En general: contamos todas las secuencias que contienen 4 números consecutivos dos veces y todas las secuencias que contienen 5 números consecutivos tres veces. Concluimos $$ N = 3\cdot28\cdot30^2 - \#\{\text{4 consecutive}\} - 2\#\{\text{5 consecutive}\} $$ Por cálculos similares obtenemos \begin{align} \#\{\text{4 consecutive}\} &= 2\cdot27\cdot30 - \#\{\text{5 consecutive}\} \\ \#\{\text{5 consecutive}\} &= 26 \end{align} Por lo tanto obtenemos que $$ N = 3\cdot28\cdot30^2 - 2\cdot27\cdot30 + 26. $$

Answer 2

Se trata de una combinación con repetición, por lo que el número total de posibilidades es $$ \frac{(N + r - 1)!}{r!(N-1)!} = \frac{(34)!}{5!(29)!} = 278256$$

Hay 28 secuencias de 3 en 30, así que para elegir 3 consecutivos de 5, tengo 3 números en la secuencia, más 2 que hay que elegir de 29 (para no elegir el siguiente en la secuencia) con repetición cuando el orden no es importante (combinación con repetición), es decir $$ 28 * \frac{(30)!}{2!(28)!} = 28 * 435 = 12180 $$

Análogamente, el número de maneras de elegir una secuencia de 4 números es entonces $$ 27 * \frac{(29)!}{1!(28)!} = 27 * 29 = 812 $$

Y finalmente, el número de formas de elegir una secuencia de 5 números es $$ 26 * \frac{(28)!}{0!(28)!} = 26 * 1 = 26 $$

Los conjuntos que contienen secuencias de 3,4 y 5 números consecutivos no se solapan, son todos números diferentes, por lo que la probabilidad de seleccionar un número con como mínimo una secuencia de 3 números consecutivos de 5 de un conjunto de 30 con repetición donde el orden no es importante es entonces $$ \frac{ 12180 + 812 + 26}{ 278256} = 0.0468 $$

Answer 3

Sea $E_{i,k}$ denotan el suceso de que los números consecutivos $i,\dots,i+k-1$ se recogen.

Entonces le interesa $P\left(\bigcup_{i=1}^{28}E_{i,3}\right)$ y aplicando la inclusión/exclusión encontramos:

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{28}E_{i,3}\right)=\sum_{1\leq i\leq28}P\left(E_{i,3}\right)-\sum_{1\leq i<j\leq28}P\left(E_{i,3}\cap E_{j,3}\right)+\sum_{1\leq i<j<k\leq28}P\left(E_{i,3}\cap E_{j,3}\cap E_{k,3}\right)$$

Para los términos aquí no iguales $0$ encontramos:

$P\left(E_{i,3}\right)=P\left(E_{1,3}\right)$ para $i=1,\dots,28$

$P\left(E_{i,3}\cap E_{i+1,3}\right)=P\left(E_{1,4}\right)$ para $i=1,\dots,27$

$P\left(E_{i,3}\cap E_{i+2,3}\right)=P\left(E_{i,3}\cap E_{i+1,3}\cap E_{i+2,3}\right)=P\left(E_{1,5}\right)$ para $i=1,\dots,26$

Así que basta con calcular $P\left(E_{1,k}\right)$ para $k=3,4,5$ y hacer cuentas.