La pregunta si un isométrico mapa $f : X \to X$ de un espacio métrico compacto es sobreyectiva ha pedido (y respondió positivamente) con frecuencia.
Asumen más generalmente que $\vert d(f(x),f(y)) - d(x,y)\vert \leq \epsilon$. ¿Es correcto que $X = \overline{B_\epsilon f(X)}$?
Supongo que esto es cierto y suponiendo que por el contrario uno puede construir algunas contradiciendo la secuencia de forma inteligente.
Esto no es cierto: un $\epsilon$-isometría puede omitir arbitrariamente un pedazo grande de el espacio.
Un simple ejemplo: $X=\{k\epsilon/2: k=0,1,\dots,n\}$ con métrica $d(a,b)=a+b$ (a menos que $a=b$, cuando es cero). El triángulo de la desigualdad es fácil de verificar.
Deje $f(x)=\max(0,x-\epsilon/2)$. Este es un mapa de $X$ dentro de sí mismo y $$d(x,x')-\epsilon\le d(f(x),f(x'))\le d(x,x')$$ Por otro lado, $X\setminus f(X) = \{n\epsilon/2\}$, lo cual es un punto a una distancia $n\epsilon/2$$f(X)$. Aquí $n$ puede ser arbitrariamente grande.
Original, más complicado (pero conectado).
Considere el siguiente "triangular peine", que consiste en la horizontal del segmento de $(0,0)$ $(0,1)$y también en los segmentos verticales de$(k/n,0)$$(k/n,k/n)$$k=1,\dots, n$.
Dotarla de la ruta de métrica: la distancia entre dos puntos es cuánto tiempo usted tiene que viajar de uno a otro, dentro de la peineta. Este es un bonito y compacto geodésica espacio métrico $X$.
Definir $f:X\to X$ $f(x,y) =( (x-1/n)^+, (y-1/n)^+)$ donde${a}^+$$\max(a,0)$. Observar que
Sin embargo, el complemento de a $f(X)$ $X$ contiene la bola de radio $1$ centrada en $(1,1)$. En la imagen de abajo, $X\setminus f(X)$ está en rojo.
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