Demostrar que una función no tiene un límite cuando $x\rightarrow 0$

Question

Deje $$ f (x) = \left\ {\begin{array}{l l} x+2 & \quad ,x\in\mathbb{Q}\\ 6-x & \quad ,x\notin\mathbb{Q} \end{matriz} \right.$$ y $$\lim_{x \to 0}f(x)$ $ no existe.

Por definición de límite.

Veo que debo escoger $\varepsilon_0=1$ pero no veo cómo sigo...

Gracias

Answer 1

Creo que la definición secuencial de un límite facilitará este problema. Que $(a_n), (b_n)$ ser secuencias que: $$a_n \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, \quad b_n \in \mathbb{Q} \\ a_n \to 0, \quad b_n \to 0$$ Then $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) =6$$ while $% $ $\lim_{n \to \infty} f(b_n) =2$

Answer 2

Para cualquier vecindad de 0 sabemos que hay racionales y números irracionales en él (ya que ambos son densos en los reales) así $f$ oscilan entre valores cercanos a 2 y el 6% suficientemente pequeña $\epsilon$por lo tanto el límite no existe.