¿Cómo calcular el derivado de $x|x|$?

Question

Sé que $$f(x)=x\cdot|x|$$ have no derivative at $% $ $x=0$pero ¿cómo calculo su derivado para el resto de los puntos? Cuando el cálculo de $$x>0$$ I get that $% $ $f'(x) = 2x $pero para $$ x < 0 $ $ no puedo parecen encontrar una manera de resolver el límite. Es tarea por favor no pongas la respuesta hacia adelante.

Answer 1

• Tiene $x \ge 0$ $f(x)=x \times |x| = x \times x = x^2$

• Tiene $x \le 0$ $f(x)=x \times |x| = x \times (-x) = -x^2$

por lo que se puede calcular la derivada cuando $x \gt 0$ y el derivado cuando $x \lt 0$ de la manera habitual.

Te equivocas cuando dices que no es ningún derivado cuando $x=0$.

Answer 2

En primer lugar, trazar una imagen. Segundo, hacer una conjetura. Tercero, confirmar su suposición.

Hmm, parece $x \mapsto x^2$$x \geq 0$$x \mapsto -x^2$$x \leq 0$. De hecho,$f(x) = x^2$$x >0 $, lo $f'(x) = 2 x$ al $x > 0$. Del mismo modo, $f(x) = -x^2$ al $x <0$, por lo que $f'(x) = -2x$ $x <0$.

El único problema es $x=0$. En cuanto a la imagen, y de hecho, mirando el valor de limitación de $x \downarrow 0$ $x \uparrow 0$ sugiere que si $f$ es diferenciable en a$x=0$,$f'(0) = 0$.

Por lo tanto, trabajando con esta suposición, tratamos de $$|f(x)-f(0) - 0.x| = |(x|x|)-0 -0.x| = |x|^2$$ Si $x\neq 0$,$\frac{|f(x)-f(0) - 0.x|}{|x|} = |x|$, del que se desprende que $f'(0) = 0$. Formalmente.

Para concluir, el aviso de que $f'(x) = 2|x|$.

De trabajo sin la intuición es difícil. Para mí, el dibujo de una imagen aproximada proporciona gran parte de la intuición. Si la intuición es el sonido, entonces es a menudo directa para formalizar el resultado.

Answer 3

Hay un gran truco que puedes utilizar. Tenga en cuenta que tiene todo real $x \neq 0$ $|x| \equiv \sqrt{x^2}$.

Si quieres saber el derivado de $x|x|$ de $x=0$ entonces considerar $x\sqrt{x^2}$. Usando la regla de la cadena y la regla del producto que podemos demostrar que, suponiendo que $x \neq 0$,

$$\frac{d}{dx}x|x| \equiv \frac{d}{dx} x\sqrt{x^2} = \sqrt{x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} \equiv |x| + \frac{x^2}{|x|} \, . $$

Además, este truco funciona en muchas situaciones más. Por ejemplo, considere $f(|x|)$. Siempre que nos quedamos lejos de $x = 0$, $g(|x|) \equiv g(\sqrt{x^2})$ y así:

$$\frac{d}{dx} g(|x|) = \frac{x}{|x|}\frac{d}{dx}g(|x|) \, . $$

Answer 4

Sugerencia Si estamos buscando $x\gt 0$ $x^2$, fácil. Si $x\lt 0$, estamos buscando en $-x^2$, fácil. $x=0$, Utilizar la definición de la derivada.

Así que queremos en $0$ $\displaystyle\lim_{h\to 0}\,\dots$,

Answer 5

Cuando $x<0$ reemplazar $|x|$ $-x$ (ya que es lo que es igual a) en la fórmula para la función y continuar.

Tenga en cuenta así que la función $f(x)=x\cdot |x|$ tiene un derivado en $0$.