Como Gottfried sugerencias, sin embargo, hay otra solución a $^{0.5}i \approx 1.07571355731 + 0.873217399108i$
Voy a utilizar esta pregunta para describir un único Abel función de $f(z)=i^z$. Escribí un pari-gp compleja base tetration programa disponible para su descarga en math.eretrandre.org. Los resultados aquí publicados fueron generados con el programa. Voy a utilizar esta pregunta sobre la base de(i) demostrar que si existe una solución de este tipo, que tiene que ser único. Este tetration puede considerarse como una extensión de Kneser la solución para bases reales>$\exp(\frac{1}{e})$, a tetration complejas bases. Entonces, ¿qué es "este tipo" de la compleja base slog/abel función de la solución?
Esta es la respuesta de Abel función implica tanto principales puntos fijos. El op señala la atracción de punto fijo, $l_1 \approx 0.438282936727 + 0.360592471871i\;$. Hay también un repelente de punto fijo $l_2 \approx -1.86174307501 - 0.410799968836i\;$. Henryk Trapmann la unicidad de criterios
dice que si usted puede hacer una hoz entre los dos puntos fijos, delimitado por un lado por un definen la curva de f(z), y limitado en el otro lado por $i^{f(z)}$. Para sexp base(i), podemos elegir f(z) como una línea recta entre el primario puntos fijos. Henryk la prueba dice que si hay un uno a uno de la analítica de asignación entre la hoz y el Abel de la función, excluyendo los dos puntos fijos, y si la derivada de la de Abel función nunca es cero, que es único para una constante aditiva. La constante aditiva está determinada únicamente por el requisito de que Tetration tienen la slog(1)=abel(1)=0.
Aquí está una imagen de la hoz y $\alpha(z)$ o el de abel/slog en el sickel. Usted puede ver el uno-a-uno el mapeo entre los dos puntos fijos, que se extiende entre las $-\Im \infty$$+\Im \infty$. La correlación entre la línea recta, y f(z) son siempre de definición de exactamente un ciclo por separado, ya que $\alpha(f(z))=\alpha(z)+1$. También me llenó en la vertical de las líneas de la cuadrícula para sexp(z+0.25), sexp(z+0.5) y sexp(z+0.75). Los dos gráficos son de color idéntica a permitir la verificación visual de la asignación de uno a uno. Debido a $\exp_i(z)$ está bien definido, la sexp(z) función puede ser extendida a la derecha, sobre todo el plano complejo, y extendida a la izquierda, excepto para logarítmica de la rama de las singularidades. Así que este slog en una hoz define sexp(z) de la base(i) para todo el plano complejo! Henryk Trapmann la singularidad de la prueba genera una función de mapeo entre esta solución y la otra supuesta solución. Ya que ambas son funciones analíticas en la franja de gaza, resulta que tanto la asignación de la función y su inversa tiene que ser entero, que sólo puede ser el caso si los dos slogs son los mismos, excepto por una constante aditiva.
Cerca de la atracción de punto fijo, la función se acerca arbitrariamente cerca a la atracción de punto fijo Abel/Schroeder función, y cerca de las fuerzas de punto fijo, la función se aproxima a la de repeler el punto fijo Abel/Schroeder función.
sexp la base i en el plano complejo, rejillas de 1 unidad aparte. Usted puede ver el logarítmica de la singularidad en z=-2.
El Abel función de la serie de Taylor fue calculado utilizando el siguiente formulario:
$$\alpha(z)=\frac{\ln(z-l_1)}{\ln(\lambda_1)} + \frac{\ln(z-l_2)}{\ln(\lambda_2)} + p(z)$$
$\lambda_1$ and $\lambda_2$ are the multipliers at the two fixed points, $l_1$ and $l_2$,
$$i^{l_1+z} = l_1 + \lambda_1 \cdot z + a_2 \cdot z^2 + a_3 \cdot z^3...$$
It turns out $p(z)$ has a relatively mild singularity at each of the two fixed points when this form is used for the Abel/slog function. For example, $p(z)$ and its derivative are both continuous and differentiable at both of the two fixed points, although the 3rd and higher derivatives are not continuous, since the periodicity at the two fixed points is less than 3.
The pari-gp fatou.gp complex base sexp program would be used as follows:
\r fatou.gp
setmaxconvergence(); /* base i is poorly behaved */
sexpinit(i);
sexp(0.5)
1.07571355731392 + 0.873217399108003*I
Here are numerical values for $l_1, l_2, r_1=\frac{1}{\ln(\lambda_1)}$, $r_2=\frac{1}{\ln(\lambda_1)}$, and p(z), and equation for the slogestimation. The radius of convergence for p(z) is $|\frac{l1-l2}{2}|$, centrado entre los puntos fijos.
l1 = 0.4382829367270321116269751636 + 0.3605924718713854859529405269*I;
l2 = -1.861743075013160391397055791 - 0.4107999688363923093542478071*I;
r1 = -0.02244005259030164710115539234 - 0.4414842544742195824980579384*I;
r2 = 0.3613567874856575121871741974 + 0.4459440823588587557573111438*I;
slogest(z) = {
z = r1*(log(I*(z-l1))-Pi*I/2) + r2*(log(-I*(z-l2))+Pi*I/2) +
subst(p,x,(z-0.5*(l1+l2)));
return(z);
}
{p= -0.06582860911769610907611153624 - 0.6391834058813427803550150237*I
+x^ 1* ( 0.0004701290774740458290098771596 - 0.04537158729375693129580356342*I)
+x^ 2* (-0.003324372336079859782821095201 + 0.001495132937745569349230811243*I)
+x^ 3* ( 0.0007980787520098490845820065316 - 0.001533441799004958947560304185*I)
+x^ 4* (-0.001108786744422696031980666816 - 2.731877902187453470989686831 E-6*I)
+x^ 5* ( 0.0001798802115603965459766944797 + 0.0001776744851391085901363383617*I)
+x^ 6* (-0.0001598048157256642978352955851 - 3.381203527058705270044424867 E-5*I)
+x^ 7* ( 4.834500417029476499351747515 E-5 + 7.971199385246578717457250724 E-5*I)
+x^ 8* (-2.079867322054674351760533351 E-5 - 1.406842037326640069256998532 E-5*I)
+x^ 9* ( 1.690770367738385075341590185 E-5 + 2.135309134452918173269411762 E-5*I)
+x^10* (-3.353412252728033524441156034 E-6 - 5.845155821267264231283805042 E-6*I)
+x^11* ( 6.565965239846111713090140941 E-6 + 4.769875342842561685863158675 E-6*I)
+x^12* (-1.296330399893039321872277846 E-6 - 2.456868593278006094540299988 E-6*I)
+x^13* ( 2.533916981224509417637955994 E-6 + 7.218102304226136498196092124 E-7*I)
+x^14* (-8.409501999009543726430092781 E-7 - 9.279879295518162345796637972 E-7*I)
+x^15* ( 9.275250588492317644336514121 E-7 - 9.631817386499723279878826279 E-8*I)
+x^16* (-5.215083989292973029369039510 E-7 - 2.615530503953161606154084492 E-7*I)
+x^17* ( 3.116111111914753868488936298 E-7 - 1.665350480228628392912034933 E-7*I)
+x^18* (-2.781400382567721610094378621 E-7 - 1.112607415413251118507915520 E-8*I)
+x^19* ( 9.051635326999330520247332230 E-8 - 1.085008978701155103767460830 E-7*I)
+x^20* (-1.238964597578335282733301968 E-7 + 5.485260567253507938012071652 E-8*I)
+x^21* ( 1.846113879795222761048581419 E-8 - 5.632856406052825347059503708 E-8*I)
+x^22* (-4.197980145789475821721904427 E-8 + 5.240770851948157536559348001 E-8*I)
+x^23* (-1.428548543349343274791836858 E-9 - 2.602689861858463106421605234 E-8*I)
+x^24* (-6.065810598994532136326922961 E-9 + 3.328188440463381773510055778 E-8*I)
+x^25* (-4.925408783783587354755417128 E-9 - 1.098256950809547844459017995 E-8*I)
+x^26* ( 5.571041113925408468110396754 E-9 + 1.638316780708641282846896470 E-8*I)
+x^27* (-4.149193648847472629362625045 E-9 - 4.116268895249720851777701930 E-9*I)
+x^28* ( 6.721271351954440168744328856 E-9 + 5.947866395141685553477517779 E-9*I)
+x^29* (-2.739160795070694522203609350 E-9 - 1.172354292086004770247804721 E-9*I)
+x^30* ( 4.623071483414304725202549852 E-9 + 9.232228309095999063811309141 E-10*I)
+x^31* (-1.585766089923197553788716462 E-9 - 1.651307950491239271118345156 E-11*I)
+x^32* ( 2.363704675846105632188520360 E-9 - 8.296748095830550218237145087 E-10*I)
+x^33* (-8.032209583204614846555211647 E-10 + 3.448796470634182196661522301 E-10*I)
+x^34* ( 8.586697889632180390697042972 E-10 - 1.035571885972986467540525699 E-9*I)
+x^35* (-3.283321823970989260857161769 E-10 + 3.700931769620798039214959724 E-10*I)
+x^36* ( 1.060749698244576767546142485 E-10 - 7.216733126248904197113800569 E-10*I)
+x^37* (-7.435780239422554167112328213 E-11 + 2.755791031783421936772787526 E-10*I)
+x^38* (-1.572500505206983217824447542 E-10 - 3.667364964073739957874509082 E-10*I)
+x^39* ( 3.623731852785295824889239864 E-11 + 1.629657324418246834695914694 E-10*I)
+x^40* (-1.802976354364813915048318195 E-10 - 1.261880617212203404824890625 E-10*I) }