37 votos

Un evidente patrón de a $i\uparrow\uparrow n$ que es eludir todos nosotros?

Empezar con $i=\sqrt{-1}$.

Este va a ser $a_1$.

$a_2$ $i^i$.

$a_3$ $i^{i^{i}}$.

$\vdots$

etc.

En Knuth flecha arriba notación:

$$a_n=i\uparrow\uparrow n$$

Y, sorprendentemente, se puede evaluar el $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}i\uparrow\uparrow n=e^{-W(-\ln(i))}\approx0.4383+0.3606i$.

Usted puede comprobar esto, de hecho convergen a este valor.

De hecho, me decidí a hacer un gráfico de $a_n$ a demostrar que converge. (el eje y es la parte imaginaria, el eje x es la parte real.)

Y, a poco de asombro, rápidamente me di cuenta de que hay un aparente patrón de la gráfica.

Comúnmente, se define a $x\uparrow\uparrow0=1$, que he incluido en el gráfico.

Así, el patrón parece muy obvio. Sigue una trayectoria curva que converge en el punto de que fue dado de arriba.

Y, si usted conecta los puntos, comenzando con el primer punto (dado en la izquierda como el primer punto) y traza una línea agradable a la segunda, tercera, y así la cuarta números, usted encontrará una interesante espiral. Pensé que, en un principio, esta espiral fue de escritura como una ecuación, pero al parecer, hay un par de implicaciones.

Observará que los puntos azules son mucho más cerca del punto de convergencia y de que el rojo y los puntos negros son un poco más cerca. Así que sea cual sea la ecuación que usted puede venir para arriba con el debe de la cuenta que $a_{3n}$ es más cercano al número que usted está tratando de converger.

Yo quiero (desesperadamente) a ver si alguien puede subir con una ecuación que permite el cálculo de $a_{0.5}$ que satisface $$i^{a_{0.5}}=a_{1.5}$$una identidad bien conocida que puede encontrar en la Wikipedia.

A primera vista de la gráfica me fui a pensar que tal vez, sólo tal vez, yo (o tú) podría encontrar una fórmula que nos permite definir $i\uparrow\uparrow 0.5$.

Si usted está familiarizado con la De'Moivres la fórmula, es una fórmula que nos permite calcular realizar

$$\sqrt{i}$$

con relativa facilidad. Fue derivado al De'Moivre notado un patrón interesante a $(a+bi)^n$. Él procedió a escribir su fórmula en cuanto a la distancia de cero y el ángulo desde el eje real positivo.

Así que debo decirte que yo deseo para que la misma se producen con $i\uparrow\uparrow n$. Tal vez la respuesta radica en el uso de un sistema de coordenadas diferente. Tal vez la respuesta se encuentra en el cálculo de la distancia de uno de los puntos sobre una de las líneas (negro, rojo, o azul) a partir de la convergencia puntual y la adición en el ángulo en el que el siguiente punto los cambios.

Mi progreso en la determinación de dicha fórmula ha ido a ninguna parte. La mayoría de los que puedo decir es que $a_n$ probablemente no es caótico, y en efecto, convergen en una forma que es, sin duda, no al azar.

13voto

Jorrit Reedijk Puntos 129

Usted puede encontrar un no-trivial de interpolación para las fracciones de iteración de altura cuando usted escribe los consecutivos recorre en log-polar-forma (con centro en el punto fijo). Cuanto más cerca de venir al final de punto fijo el registro de la distancia, así como el ángulo de venir más y más cerca de una relación lineal con el índice y esto sugiere una evidente método de interpolación para las fracciones de iteración-alturas.

Me pareció interesante que ese tipo de interpolación está de acuerdo con la solución, que se puede encontrar a través del método inventado por E. Schröder en los finales del siglo 19. Aunque este log-polar/Schröder-interpolación da una solución sencilla, no parece ser una mejor (mejor en qué sentido? - demasiado difícil hablar de ello aquí) en el espíritu de Kneser la solución analítica para la fracción de la interpolación de los $\exp()$-función (implementaciones disponibles por tetrationforum). El último puede aparentemente ser aproximada por una simple (pero computacionalmente mucho involucrados), procedimiento que implica la matriz de diagonalización de computación y fracciones de potencias de la matriz.

Usted puede encontrar una introducción de la comparación de los mencionados métodos (sin embargo, para una base diferente para la exponenciación) en este pequeño ensayo de mi


Aquí hay una imagen de una interpolación fraccional de alturas de partida en $z_0=1$ ir $z_1=î,z_2 \approx 0.2078,...,z_\infty \approx 0.438+0.361 î$ el uso de la Schröder-mecanismo. Por ejemplo, para el half-iterar nos encontramos por este método a $z_{0.5} \approx 1.1667+0.734 î$. El gris de la línea punteada indica la entero-se itera (debe ser el mismo que el de @GEdgar)

image



Tengo Sh. Levenstein del Pari/GP-programa "fatou.gp" (de la tetrationforum) para la (extended) Kneser-método de trabajo. Aquí está una comparación de las órbitas producidos por los dos métodos. Por ejemplo, la mitad de la recorre difieren incluso visualmente:

image2

5voto

zeroasterisk Puntos 165

Como Gottfried sugerencias, sin embargo, hay otra solución a $^{0.5}i \approx 1.07571355731 + 0.873217399108i$

Voy a utilizar esta pregunta para describir un único Abel función de $f(z)=i^z$. Escribí un pari-gp compleja base tetration programa disponible para su descarga en math.eretrandre.org. Los resultados aquí publicados fueron generados con el programa. Voy a utilizar esta pregunta sobre la base de(i) demostrar que si existe una solución de este tipo, que tiene que ser único. Este tetration puede considerarse como una extensión de Kneser la solución para bases reales>$\exp(\frac{1}{e})$, a tetration complejas bases. Entonces, ¿qué es "este tipo" de la compleja base slog/abel función de la solución?

Esta es la respuesta de Abel función implica tanto principales puntos fijos. El op señala la atracción de punto fijo, $l_1 \approx 0.438282936727 + 0.360592471871i\;$. Hay también un repelente de punto fijo $l_2 \approx -1.86174307501 - 0.410799968836i\;$. Henryk Trapmann la unicidad de criterios
dice que si usted puede hacer una hoz entre los dos puntos fijos, delimitado por un lado por un definen la curva de f(z), y limitado en el otro lado por $i^{f(z)}$. Para sexp base(i), podemos elegir f(z) como una línea recta entre el primario puntos fijos. Henryk la prueba dice que si hay un uno a uno de la analítica de asignación entre la hoz y el Abel de la función, excluyendo los dos puntos fijos, y si la derivada de la de Abel función nunca es cero, que es único para una constante aditiva. La constante aditiva está determinada únicamente por el requisito de que Tetration tienen la slog(1)=abel(1)=0.

Aquí está una imagen de la hoz y $\alpha(z)$ o el de abel/slog en el sickel. Usted puede ver el uno-a-uno el mapeo entre los dos puntos fijos, que se extiende entre las $-\Im \infty$$+\Im \infty$. La correlación entre la línea recta, y f(z) son siempre de definición de exactamente un ciclo por separado, ya que $\alpha(f(z))=\alpha(z)+1$. También me llenó en la vertical de las líneas de la cuadrícula para sexp(z+0.25), sexp(z+0.5) y sexp(z+0.75). Los dos gráficos son de color idéntica a permitir la verificación visual de la asignación de uno a uno. Debido a $\exp_i(z)$ está bien definido, la sexp(z) función puede ser extendida a la derecha, sobre todo el plano complejo, y extendida a la izquierda, excepto para logarítmica de la rama de las singularidades. Así que este slog en una hoz define sexp(z) de la base(i) para todo el plano complejo! Henryk Trapmann la singularidad de la prueba genera una función de mapeo entre esta solución y la otra supuesta solución. Ya que ambas son funciones analíticas en la franja de gaza, resulta que tanto la asignación de la función y su inversa tiene que ser entero, que sólo puede ser el caso si los dos slogs son los mismos, excepto por una constante aditiva.

Cerca de la atracción de punto fijo, la función se acerca arbitrariamente cerca a la atracción de punto fijo Abel/Schroeder función, y cerca de las fuerzas de punto fijo, la función se aproxima a la de repeler el punto fijo Abel/Schroeder función.

slog and abel function baes(i) on a sickel

sexp la base i en el plano complejo, rejillas de 1 unidad aparte. Usted puede ver el logarítmica de la singularidad en z=-2.

sexp base i on the complex plane

El Abel función de la serie de Taylor fue calculado utilizando el siguiente formulario: $$\alpha(z)=\frac{\ln(z-l_1)}{\ln(\lambda_1)} + \frac{\ln(z-l_2)}{\ln(\lambda_2)} + p(z)$$

$\lambda_1$ and $\lambda_2$ are the multipliers at the two fixed points, $l_1$ and $l_2$, $$i^{l_1+z} = l_1 + \lambda_1 \cdot z + a_2 \cdot z^2 + a_3 \cdot z^3...$$

It turns out $p(z)$ has a relatively mild singularity at each of the two fixed points when this form is used for the Abel/slog function. For example, $p(z)$ and its derivative are both continuous and differentiable at both of the two fixed points, although the 3rd and higher derivatives are not continuous, since the periodicity at the two fixed points is less than 3.

The pari-gp fatou.gp complex base sexp program would be used as follows:

\r fatou.gp
setmaxconvergence();  /* base i is poorly behaved */
sexpinit(i);
sexp(0.5)
1.07571355731392 + 0.873217399108003*I

Here are numerical values for $l_1, l_2, r_1=\frac{1}{\ln(\lambda_1)}$, $r_2=\frac{1}{\ln(\lambda_1)}$, and p(z), and equation for the slogestimation. The radius of convergence for p(z) is $|\frac{l1-l2}{2}|$, centrado entre los puntos fijos.

l1 = 0.4382829367270321116269751636 + 0.3605924718713854859529405269*I;
l2 = -1.861743075013160391397055791 - 0.4107999688363923093542478071*I;
r1 = -0.02244005259030164710115539234 - 0.4414842544742195824980579384*I;    
r2 = 0.3613567874856575121871741974 + 0.4459440823588587557573111438*I;
slogest(z) = {
  z = r1*(log(I*(z-l1))-Pi*I/2) + r2*(log(-I*(z-l2))+Pi*I/2) + 
  subst(p,x,(z-0.5*(l1+l2)));
  return(z);
}
{p= -0.06582860911769610907611153624 - 0.6391834058813427803550150237*I
+x^ 1* ( 0.0004701290774740458290098771596 - 0.04537158729375693129580356342*I)
+x^ 2* (-0.003324372336079859782821095201 + 0.001495132937745569349230811243*I)
+x^ 3* ( 0.0007980787520098490845820065316 - 0.001533441799004958947560304185*I)
+x^ 4* (-0.001108786744422696031980666816 - 2.731877902187453470989686831 E-6*I)
+x^ 5* ( 0.0001798802115603965459766944797 + 0.0001776744851391085901363383617*I)
+x^ 6* (-0.0001598048157256642978352955851 - 3.381203527058705270044424867 E-5*I)
+x^ 7* ( 4.834500417029476499351747515 E-5 + 7.971199385246578717457250724 E-5*I)
+x^ 8* (-2.079867322054674351760533351 E-5 - 1.406842037326640069256998532 E-5*I)
+x^ 9* ( 1.690770367738385075341590185 E-5 + 2.135309134452918173269411762 E-5*I)
+x^10* (-3.353412252728033524441156034 E-6 - 5.845155821267264231283805042 E-6*I)
+x^11* ( 6.565965239846111713090140941 E-6 + 4.769875342842561685863158675 E-6*I)
+x^12* (-1.296330399893039321872277846 E-6 - 2.456868593278006094540299988 E-6*I)
+x^13* ( 2.533916981224509417637955994 E-6 + 7.218102304226136498196092124 E-7*I)
+x^14* (-8.409501999009543726430092781 E-7 - 9.279879295518162345796637972 E-7*I)
+x^15* ( 9.275250588492317644336514121 E-7 - 9.631817386499723279878826279 E-8*I)
+x^16* (-5.215083989292973029369039510 E-7 - 2.615530503953161606154084492 E-7*I)
+x^17* ( 3.116111111914753868488936298 E-7 - 1.665350480228628392912034933 E-7*I)
+x^18* (-2.781400382567721610094378621 E-7 - 1.112607415413251118507915520 E-8*I)
+x^19* ( 9.051635326999330520247332230 E-8 - 1.085008978701155103767460830 E-7*I)
+x^20* (-1.238964597578335282733301968 E-7 + 5.485260567253507938012071652 E-8*I)
+x^21* ( 1.846113879795222761048581419 E-8 - 5.632856406052825347059503708 E-8*I)
+x^22* (-4.197980145789475821721904427 E-8 + 5.240770851948157536559348001 E-8*I)
+x^23* (-1.428548543349343274791836858 E-9 - 2.602689861858463106421605234 E-8*I)
+x^24* (-6.065810598994532136326922961 E-9 + 3.328188440463381773510055778 E-8*I)
+x^25* (-4.925408783783587354755417128 E-9 - 1.098256950809547844459017995 E-8*I)
+x^26* ( 5.571041113925408468110396754 E-9 + 1.638316780708641282846896470 E-8*I)
+x^27* (-4.149193648847472629362625045 E-9 - 4.116268895249720851777701930 E-9*I)
+x^28* ( 6.721271351954440168744328856 E-9 + 5.947866395141685553477517779 E-9*I)
+x^29* (-2.739160795070694522203609350 E-9 - 1.172354292086004770247804721 E-9*I)
+x^30* ( 4.623071483414304725202549852 E-9 + 9.232228309095999063811309141 E-10*I)
+x^31* (-1.585766089923197553788716462 E-9 - 1.651307950491239271118345156 E-11*I)
+x^32* ( 2.363704675846105632188520360 E-9 - 8.296748095830550218237145087 E-10*I)
+x^33* (-8.032209583204614846555211647 E-10 + 3.448796470634182196661522301 E-10*I)
+x^34* ( 8.586697889632180390697042972 E-10 - 1.035571885972986467540525699 E-9*I)
+x^35* (-3.283321823970989260857161769 E-10 + 3.700931769620798039214959724 E-10*I)
+x^36* ( 1.060749698244576767546142485 E-10 - 7.216733126248904197113800569 E-10*I)
+x^37* (-7.435780239422554167112328213 E-11 + 2.755791031783421936772787526 E-10*I)
+x^38* (-1.572500505206983217824447542 E-10 - 3.667364964073739957874509082 E-10*I)
+x^39* ( 3.623731852785295824889239864 E-11 + 1.629657324418246834695914694 E-10*I)
+x^40* (-1.802976354364813915048318195 E-10 - 1.261880617212203404824890625 E-10*I) }

3voto

Paul Sinclair Puntos 6547

Considerar las funciones $$f_n(z) = \frac{\sin \pi z}{z - n}$$ for $n\in\Bbb Z$. Note that $f_n(k) = 0$ if $n \ne k$ and $f_n(n) = 1$.

Definir $$f(z) := \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{|n|}f_n(z) = \sin \pi z \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{a_{|n|}}{z - n} = \sin \pi z\left(\frac{a_0} z + 2z\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{z^2 - n^2}\right)$$

(para la definición adecuada de la doble suma infinita). Puesto que el $a_n$ convergen, que son limitadas, por lo que la última suma converge para todos los no-entero $z$, con un simple polos que los enteros, los cuales son cancelados por la multiplicación de las $\sin \pi z$, dejando $f(n) = a_{|n|}$ todos los $n \in \Bbb Z$.

Puede definir $a_z = f(z)$ arbitrarias $z$.

Sin embargo, esto es sólo una posible función. Para cualquier función $h$, la función de $g(z) = f(z) + h(z)\sin \pi z$ también satisface $g(n) = a_{|n|}$$n\in \Bbb Z$, pero en general tiene diferentes valores de$f$$\Bbb Z$.

Hay otras opciones también. Tal vez usted quiere definir $a_n$ para los negativos por la inversa de la fórmula de recursión $a_n = -\frac {2\log a_{n+1}}{\pi}$. Una construcción similar se puede hacer, a pesar de que uno tiene que tener más cuidado para asegurar la convergencia (la razón por la que fui con una función par para $f$).

Así que sin algo más de criterio, no existe un bien definido respuesta. Su fórmula $f(z + 1) = i^{f(z)}$ puede resolver el problema, pero no he trabajado de esto.

3voto

Daniel Geisler Puntos 413

El número de $ ^\infty i \approx 0.4383+0.3606i$ donde $ i^{^\infty i} = {^\infty i}$ es un hiperbólico de punto fijo. Deje $\epsilon$ ser un número muy pequeño tal que $\epsilon^2 \approx 0$. Entonces

$\large ^\infty i + \epsilon \rightarrow i^{^\infty i+ \epsilon} = {^\infty i} \times i^\epsilon = {^\infty i} \times e^{Ln(i) \epsilon} = {^\infty i}(1 + Ln(i) \epsilon) = {^\infty i} + Ln(^\infty i) \epsilon$

$\large ^\infty i + \epsilon \rightarrow {^\infty i} + Ln(^\infty i) \epsilon$

El número de $ Ln(^\infty i) \approx Ln(0.4383+0.3606i) \approx -0.566386 +0.688444 i$ es el llamado multiplicador en la dinámica.

En coordenadas polares $ Ln(^\infty i), r\approx 0.891487 ; \theta \approx 129.444°$. Este describe los triángulos en la trama y por qué existen. El logaritmo del multiplicador que se llama el exponente de Lyapunov que es $-0.114865 +2.25923 i$ Debido a que el exponente de Lyapunov del valor de x es negativo, el sistema tiene una hiperbólica atractor en el punto fijo.

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