derivado del th de $n$ $(x^2-1)^n$

Question

Definir $R_n(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$. Muestran que $R_n(x)$ es ortogonal a $1,x,\ldots,x^{n-1}$ $L^2([-1,1])$. Además, ¿cuál es el valor de $R_n(1)$?

Por definición tenemos que demostrar que $$\int_{-1}^1R_n(x)x^k=0$$ for $k=0,1,\ldots,n-1$. This looks a lot like integration by parts, so suppose $S_k$ is the $k$-th derivative of $ (x ^ 2 - 1) ^ n$. Entonces

$$\int_{-1}^1R_n(x)x^k=x^kS_{n-1}(x)\mid_{-1}^1-k\int_{-1}^1x^{k-1}S_{n-1}(x)$$.

¿Parece que el segundo término puede integrarse por partes otra vez, pero lo que es el primer término?

Además, ¿cómo sería posible calcular $R_n(1)$?

Answer 1

Por la regla de Leibnitz

$$\dfrac{d^n}{dx^n}(x-1)^n(x+1)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \dfrac{d^k}{dx^k}(x-1)^n \right) \left(\dfrac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(x+1)^n\right)$$

Ahora, para evaluar el $R_n(1)$, a sólo observar que $0 \leq k \leq n-1$ el término $\left( \dfrac{d^k}{dx^k}(x-1)^k \right)$ todavía contiene un $x-1$. Por lo tanto

$$R_n(1)=\left( \dfrac{d^n}{dx^n}(x-1)^n \right) (x+1)^n |_{x=1}=n!2^n$$

P.D. Lo anterior también produce:

$$\dfrac{d^n}{dx^n}(x-1)^n(x+1)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \dfrac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} \right) \left(\dfrac{n!}{k!}(x+1)^{k}\right) \\= \sum_{k=0}^n n! \binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k} $$

Answer 2

Esto puede ser diferenciados a través de Lebnitz regla, $$\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}((x^2 - 1)^{n-1} (x^2 - 1)) = (x^2 - 1)D^{n-1} (x^2 - 1)^{n-1} -2x \binom{n-1}{1} D^{n-2} (x^2 - 1)^{n-1} - 2 \binom{n-1}{3} D^{n-3} (x^2 - 1)^{n-1}$$

El primer término es cero. El segundo término y el tercer término puede ser evaluado de la misma manera como el orden de la diferenciación disminuye y disminuye hasta llegar a cero por lo que podemos argumentar que $D^k(x^2 - 1)^n$ es cero en $x=\pm 1$ si $k<n$.

Para averiguarlo, $R_n(1)$, ampliamos la binomial y luego se diferencian, además de usar los Rodrigue la fórmula de Legendre del polinomio, $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$ podemos evaluar este. como $P_n(1) 2^n n!$