Condiciones sobre variables aleatorias de Poisson a la convergencia en probabilidad

Question

Deje $X_1,X_2,...$ denotar iid variables aleatorias tales que $X_j$ tiene una distribución de Poisson con una media de $\lambda t_j$ donde $\lambda$ > 0 y $t_1, t_2,...$son conocidos constantes positivas.

a)Encontrar las condiciones en $t_1, t_2,...$, de modo que $\Large Y_n = \frac{\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j - \lambda }{\operatorname{Var}(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)}$ converge en distribución a una normal estándar variable.

b) Supongamos que, para cada una de las $j = 1,...,t_j$ se encuentra en el intervalo de $(a,b)$ donde $0 < a < b < \infty$. De lo anterior se sigue que el $Y_n$ converge en distribución a una normal estándar variable?

c) Supongamos que $t_j$ = j, j = 1,... No se sigue que la $Y_n$ converge en distribución a una normal estándar variable?

Intento):

Dado que la función característica de una distribución de Poisson con una media de $\lambda $ está dada por:

$\hspace{15mm} \exp (\lambda[\exp(it)-1])$,

entonces tenemos la siguiente función característica de a $Y_n$:

$\hspace{15mm}$$\phi_n(t) = \exp ((\operatorname{Var}(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)^2\lambda[\exp(it/\operatorname{Var}(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j))-(\operatorname{Var}(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j))^2 - \operatorname{Var}(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)it]$

Por el Lema 2.1 en Severini "Elementos de la Teoría de la Distribución":

$\exp(it) = \sum\limits_{j=0}^n \frac{(it)^j}{j!} + R_n(t)$

donde

$\hspace{15mm}|R_n(t)|\leq \min(|t|^{n+1}/(n+1)!, 2|t|^n /n!$

Por lo tanto,

$\hspace{15mm}exp(it/Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)) = 1 + it/Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j) - 1/2t^2/Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)^2 + R_2(t)$

donde

$\hspace{15mm} |R_2(t)|\leq 1/6t^3/Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)^{2/3}$.

De ello se sigue que

$\hspace{15mm}\phi_n(t) = exp(-t^2/2 + Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)^2 R_2(t)$

y que

$\hspace{15mm} \lim_{ Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)\to \infty}$ $Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)R_2(t) = 0$, $-\infty < t < \infty$.

Por lo tanto,

$\hspace{15mm}\lim_{ Var(\sum\limits_{j=1}^n X_j /\sum\limits_{j=1}^n t_j)\to \infty}$$\phi_n(t) = exp(-t^2/2), -\infty < t < \infty$,la función característica de una variable normal estándar.

Sin embargo, no puedo identificar a las limitaciones de la $t_1,t_2,....$

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

De no seguir las primarias indicaciones dadas en los comentarios por lo tanto es un poco difícil saber lo que podría ayudar a que usted (y la recompensa no es un sustituto para eso). De todos modos, los pasos hacia la solución podría ser la siguiente.

• La correcta declaración del ejercicio implica $$Y_n = \frac{S_n/\tau_n - \lambda }{\sqrt{\operatorname{Var}\left(S_n/\tau_n\right)}},$$ where $$S_n=\sum\limits_{j=1}^n X_j,\qquad\tau_n=\sum\limits_{j=1}^n t_j,$$ no lo que está escrito en la pregunta.
• La suma de independiente de variables aleatorias de Poisson es de Poisson con parámetro de la suma de los parámetros de ahí $S_n$ es de Poisson con parámetro de $\lambda \tau_n$.
• La varianza de una variable aleatoria de Poisson es su parámetro de ahí $\operatorname{Var}(S_n)=\lambda \tau_n$.
• Por último, la variación de un múltiplo de una variable aleatoria es la varianza de la variable aleatoria veces el cuadrado de la múltiples.

Todo esto da lugar a la identidad $$Y_n=\frac{S_n-\lambda \tau_n}{\sqrt{\lambda\tau_n}},$$ where, for every $n$, $S_n$ is Poisson with parameter $\lambda \tau_n$. A partir de ahí, todo funciona, por ejemplo, la función característica del enfoque que parecen tener en mente.

Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para la convergencia en (a) que se produzca (que también respuestas (b) y (c)) es $$\tau_n\to\infty.$$