Teorema adecuado

Question

Mi profesor menciona una asignación correcta teorema después de que el nombre de Remmert que dice:

Deje $X$ $Y$ ser complejos colectores, $f:X \to Y$ ser un adecuado holomorphic mapa, y $V \subset X$ ser un complejo de la analítica de subvariedad de $ X$, $f(V)$ es una subvariedad de $Y$.

Sé que esto es un profundo resultado, y la prueba no es fácil, pero ¿hay alguna razón simple que puede convencer a me $f(V)$ es una subvariedad, al menos intuitivamente?

Además, ¿cuál es el análogo resultado en la geometría algebraica? En Hartshorne, sólo él puede decir que la imagen es edificable establecido.

EDIT: Uno de intuitiva explicación que mezcla el lenguaje de los complejos y algebraicas geoemtry puede ser el siguiente: supongamos que X,Y son proyectivos de la analítica de las variedades de más de $\mathbb{C}$, que son variedades algebraicas. Porque adecuada de morfismos son cerrados, y también porque la imagen es un edificable establecido, tiene que ser de una variedad.

Los problemas de la explicación anterior son: (1) La pregunta es, obviamente, local en Y, pero tengo que asumir que X,Y son proyectivos de la analítica de variedades con el fin de traducir de nuevo a variedades algebraicas(GAGA).(2)yo todavía uso el resultado de que la imagen es edificable que no es evidente de manera intuitiva, y GAGA para conectar analítica variedad a variedad algebraica. Con todo, no es una buena idea utilizar la geometría algebraica para explicar la geometría compleja.

Answer 1

@Li

Queridos Li,

Remmert la asignación correcta teorema se ajusta a una serie de generalizaciones:

1. El finita de asignación teorema: asume Que el mapa de $f: X \longrightarrow Y$ a un ser finito.

2. Remmert la asignación correcta teorema como se indica en su pregunta.

3. Grauert del teorema sobre la coherencia de la imagen directa de poleas: Si $X$ $Y$ son espacios complejos, $f: X \longrightarrow Y$ un adecuado holomorphic mapa y $\mathscr F$ coherente gavilla en $X$, a continuación, toda la imagen directa de poleas $R^if_* (\mathscr F), i \in \mathbb N,$ son coherentes.

Grauert del teorema implica Remmert del teorema, debido a que cualquier analítica es el soporte de su estructura gavilla, lo cual es coherente. En mi opinión, Grauert del teorema y sus diferentes pruebas pertenecen a la más profunda de los resultados de análisis complejo.

El finita de asignación teorema tiene un aspecto topológico y algebraica de aspecto debido a que se considera una adecuada asignación de cero dimensiones de las fibras. La prueba va por inducción sobre la dimensión de la $X$. Gracias a que el propio de $f$ la inducción de paso se reduce a una situación local en puntos de $x = 0 \in X$$f(x) = 0\in Y$: Considerar la posibilidad de

$$pr: \mathbb {C}^n \longrightarrow \mathbb {C}^{n-1},$$

la proyección canónica en la primera $n-1$ coordenadas y considerar la posibilidad de una adecuada ideal

$$\mathscr a \subsetneq \mathbb C {\{z_1,...,z_n}\},$$

regular en $z_n,$ que define el germen de una analítica set$V(\mathscr a)$$x$. Intuitivamente, el mapa $$pr|V(\mathscr a) \longrightarrow pr(V(\mathscr a))$$

es un ramificada cobertura: Por métodos de local analítica álgebra demuestra

$$pr(V(\mathscr a)) = V(\mathscr a \cap \mathbb C \{z_1,.,,,z_{n-1}\}).$$

La analógica y la guía de Grauert del teorema es la asignación correcta teorema de Grothendieck (ver Hartshorne III, Observación 8.8.1). La prueba del teorema de Grothendieck es mucho más fácil que la prueba de Grauert del teorema.