Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación: $x^3=-8i$

Question

Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación: $$x^3=-8i$$ He encontrado el módulo, $$r=8$$ $$\operatorname{arg}(x)=\arctan(-8/0)=-π/2+2πk$$ Por De Moivre del Teorema: $$2[\cos(-π/6+2/3πk)+i\sin(-π/6+2/3πk)]$$ La primera solución que me dieron es: $$\sqrt3-i$$Es mi respuesta correcta?

y hay alguna manera más fácil de obtener las otras soluciones?

Answer 1

Su respuesta es correcta.

Observe también que $(2i)^3=-8i$, lo $x^3-(-8i) = (x-2i)(\cdots\cdots)$, y el otro factor puede ser encontrado por la división larga. Usted obtener $$ x^3+8i = (x-2i)(x^2 +2ix - 4). $$ Si usted intenta solucionar $x^2+2ix-4=0$ por la fórmula habitual, usted necesita la raíz cuadrada del discriminante $b^2-4ac = -4-4(1)(-4)=12=4\cdot3$ y no el conocimiento de los números complejos es necesario para que los.

Answer 2

$$(x-2i)(x^2+2i-4)=0$$ la primera raíz es $$x=2i$$ las otras raíces utilizando la fórmula cuadrática

Answer 3

Sí, hay uno. Sugerencia: usar la exponencial de la forma: $z^3 = -8i$ será reemplazado por $z^3 = 8 \exp(-\pi/2 + 2k\pi)$, lo $z = 2 \exp(-\pi/6 + 2k\pi/3)$$k \in \{0,1,2\}$.

Answer 4

$$x^3=-8i$$

$$x^3=8e^{-(\pi/2)i}$$

Soluciones: $$x=2i$$ $$x=-\sqrt{3}-i$$ $$x=\sqrt{3}-i$$

Una manera diferente de hacerlo:

$$x^3=-8i<=>$$ $$x^3=|-8i|e^{arg(-8i)i}<=>$$ $$x^3=8e^{\left(-\frac{1}{2}\pi +2\pi k\right)i}$$

(con k es el elemento de Z)

$$x=\left(8e^{\left(-\frac{1}{2}\pi +2\pi k\right)i}\right)^{\frac{1}{3}}<=>$$ $$x=2e^{\left(\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi k\right)i}$$

(con k va de 0 a 2 -> k=0-2)