Composición de una función analítica con una función continua que es analítica

Question

Si $f$ es una función continua tal que $g(z)=\sin{f(z)}$ es analítica, entonces es $f$ ¿analítica?

Sé que podemos tomar $f(z)=\bar{z}$ entonces $f$ es continua pero $g$ no es analítico. Lo mismo ocurre si tomamos $f(x+iy)=x$ .

Intenté dejar que $f(z)=u+iv$ y luego ampliar $g(z)=\sin u\cosh v+i\cos u\sinh v$ tomando las derivadas parciales y utilizando las ecuaciones de Cauchy Riemann. Eso parece una manera desordenada de hacerlo.

Answer 1

Para los puntos en los que $f(z) \neq \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$ el seno es localmente biholomorfo, y

$$f(z) = \arcsin \left(\sin f(z)\right)$$

es holomorfa en una vecindad de $z$ como una composición de dos funciones holomorfas.

Queda por tratar los puntos en los que $f(z) = \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .

Utilice el teorema de la identidad (en $\sin\circ f$ ya que no sabemos todavía que $f$ es holomorfa en todas partes) para deducir que (en cada componente de su dominio) o bien $f$ es constante (se deduce de la continuidad de $f$ si $\sin \circ f$ es constante), o estos puntos están aislados. En este último caso, el teorema de la singularidad desmontable de Riemann dice que $f$ es holomorfa también en estos puntos.