Números súper perfectos

Question

Un número superperfecto es un número con $\sigma(\sigma (n))=2n$ .

¿Cómo puedo demostrar que todo número par super perfecto es de la forma $n=2^k$ cuando $2^{k+1}-1$ es primo.

Lo he intentado de todas las maneras, por favor, dame un poco de orientación

Answer 1

Dejemos que $p$ sea un primo. Sabemos que $\sigma (p^\alpha)= \dfrac{p^{\alpha+1} -1}{p-1}$ .

Ahora, dejemos que $m=p^\alpha r$ sea un número entero con $p\not| r$ .
Si $p \not| m$ entonces $\sigma(p m) = \sigma(p) \sigma(m) =(p+1) \sigma(m) > p \sigma(m)$ .
Si $p | m$ entonces tenemos $\sigma(pm) = \sigma (p^{\alpha +1})\sigma(r)= \dfrac{p^{\alpha +2} -1} {p-1} \sigma(r) >\dfrac{p^{\alpha +2} -p} {p-1} \sigma(r)= p\sigma(p^\alpha)\sigma(r) = p \sigma(m)$ .

Así, para cualquier producto $ab$ tenemos $\sigma(ab) \ge a \sigma(b)$ y la igualdad se mantiene exactamente para $a=1$ .

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Ahora, podemos concluir: Sea $n= 2^ku$ con $u$ impar y $k \ge 1$ .

Tenemos $\sigma(n)= (2^{k+1}-1) s$ donde $s=\sigma(u) \ge u$ .

Por lo tanto, $\sigma(\sigma(n))= \sigma((2^{k+1}-1)s) \ge \sigma((2^{k+1}-1) s \ge 2^{k+1} u = 2n$ .

Así que, para un número superperfecto, la igualdad tiene que mantenerse en esta cadena de desigualdades.

La primera desigualdad es verdadera si $s=1$ y la segunda desigualdad es verdadera si $2^{k+1}-1$ es primo (porque los dos divisores triviales ya dan $2^{k+1}$ y el número es claramente mayor que 1, aquí es donde usamos $k \ge 1$ ) y $s=u$ .

Así que, en total $u=1$ et $2^{k+1}-1$ es primo y $n=2^k$ .

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Sólo para añadir una palabra de motivación:

Los números perfectos tienen la propiedad $\sigma(n)=2n$ Así que con $\rho(n)=\sigma(n)-n$ esto se convierte en $\rho(n)=n$ .

La concatenación que se espera que mantenga el mismo tamaño "en promedio" sería $\rho(\rho(n))=n$ que está relacionado con la búsqueda de números amistosos.

Ahora, en cambio, aplicamos $\sigma$ dos veces, por lo que podemos esperar que el número crezca demasiado la mayoría de las veces. Esto motiva la búsqueda de una cadena de desigualdades del tipo $\sigma(\sigma(n))\ge 2n$ que luego resulta que sólo funciona incluso para $n$ .