Por Hermite del teorema, hay sólo un número finito número de campos de acotados (equivalentemente, fijo) discriminante. Pero supongo que las personas que han recogido datos acerca de esto a decir más que eso?
Traté de mirar a su alrededor y encontró varias tablas relacionadas con los resultados, pero nunca acerca de este particular. Gracias de antemano por cualquier ayuda!
Es un problema fundamental en la teoría algebraica de números para determinar asintóticamente cómo muchos campos de número que hay de un determinado grado de $d$ de discriminante $\leq X$, y hay un montón de investigación sobre esta cuestión.
Este papel de Ellenberg y Venkatesh está dedicado a este problema. En la introducción se describe una conjetura de Linnik ($d$fijo) este número crece como un número constante de veces $X$. Como se ha mencionado allí, es conocido por $d \leq 5$. (El caso de $d = 2$ es bastante sencillo de la teoría de la cuadrática extensiones, en el caso de $d = 3$ es debido a Davenport y Heilbron, y los casos de $d = 4$ $5$ son debidas a Bhargava.) Sin embargo, está abierto en general. Se obtiene el límite superior de $a X^{\exp(b \sqrt{\log d})},$ donde $a$ $b$ son constantes.
Este papel de Bhargava, Shankar, y Tsimerman le da un buen tratamiento, y el refinamiento de los Davenport--Heilbron teorema (es decir, el caso de $d = 3$).
Para dar una idea de por qué la pregunta podría ser difícil, considere la posibilidad de no Galois cúbicos extensiones $F$$\mathbb Q$. Esta extensión viene por contigua a la raíz de un irred. cúbicos cuyo disco. no es un cuadrado. Si dejamos $L$ ser la división de campo de este polinomio, entonces $L$ contiene un quad. subcampo $K$ (que viene por contigua a la raíz cuadrada de la disco. de la cúbico), y $L$ es un Galois cúbicos de extensión de $K$.
Tenemos la fórmula $\newcommand{\disc}{\operatorname{disc}}$
$$ \disco(L) = N_{K/\mathbb Q}\disco(L/K) \disco(K)^3 = N_{F/\mathbb Q}\disco(L/F) \disc(F)^2.$$
Ahora supongamos, por ejemplo, que el $L/K$ está en todas partes unramified. Entonces nos encontramos con que $\disc(F)^2 \leq \disc(K)^3$, y así obtenemos un cúbicos de extensión de $\mathbb Q$ de discriminante delimitada por $\disc(K)^{3/2}$.
Ahora en todas partes unram. cúbicos de Galois de la extensión de $L$ $K$ corresond, por la clase de teoría del campo, a la existencia de 3-torsión en el grupo de clase de $K$. Así que controlar cúbicos extensiones de $\mathbb Q$ de los delimitada discriminante requiere el control de la cantidad de 3-torsión que pueden aparecer en la clase de los grupos de extensiones cuadráticas de $\mathbb Q$.
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