La compatibilidad de una conexión y métrica

Question

Cada colector de Riemann admite una métrica de conexión. Supongamos Que $M $ is a manifold and $\nabla $ is an arbitrary connection on the tangent bundle. Does $M$ necessarily admit a metric such that $\nabla$ es compatible con esta métrica?

Answer 1

Tome $M=S^1$ y deje $\nabla$ ser el plano de conexión en el trivial de la línea de paquete de más de $M$ cuyo holonomy es generado por la dilatación por $\lambda >1$. Entonces, claramente, $\nabla$ no puede admitir una compatible métrica de Riemann.

Edit: he Aquí algunos detalles que son bastante estándar. Voy a utilizar el asociado paquete de construcción de lo que voy a describir para un general de colector $M$ general y de espacio vectorial $V$ (en nuestro caso, $M=S^1$$V={\mathbb R}$).

Considere la posibilidad de la universalización de la cobertura $\tilde M$ $M$ y respecto del producto $\tilde M \times V$ como un vector paquete de $\tilde E$ $\tilde M$ con la fibra $V={\mathbb R}^n$. Equipar este paquete con el trivial de conexión en el que las hojas de la horizontal a la foliación son los productos de $x\times V$ donde $x\in \tilde M$. Supongamos también tenemos una representación lineal $h: \pi_1(M)\to GL(V)$. Deje que el grupo fundamental de la $M$ act en el producto por parte de la cubierta de las transformaciones en el primer factor (la universalización de la cobertura) y a través de la representación lineal $h$ en el segundo (fibra) factor. El cociente de $\tilde M \times V$ por la acción es, naturalmente, un vector paquete de $E$ $M$ con la fibra $V$. El trivial de conexión en $\tilde E$ es invariante bajo la acción de $\pi_1(M)$ (ya que envía horizontal hojas horizontal de las hojas) y de ahí desciende a un plano de conexión de $\nabla$$E$. Ahora, si usted simplemente siguen la definición de holonomy de una conexión (como se define a través de transporte paralelo a lo largo de bucles en la base), se ve que la holonomy homomorphism de $\nabla$$h$. Supongamos ahora que $h$ tiene la propiedad de que su imagen $G$ es una desenfrenada subgrupo de $GL(V)$. A continuación, $G$ no figura en ningún subgrupo compacto de $GL(V)$, en particular, no está contenida en ningún conjugado del subgrupo $O(n)< GL(V)$. Ahora, si $\nabla$ fueron a admitir una compatible métrica de Riemann, la holonomy grupo de $\nabla$ estaría contenida en $O(n)$, identificado con el grupo de isometrías lineales de $E_x$ donde $E_x$ es la fibra de $E$ sobre la base del punto de $x\in M$ (equipado con la métrica de Riemann). Esta es una contradicción.

Ahora, para un ejemplo específico, considere la posibilidad de $M=S^1$, $V={\mathbb R}$ y $h$ dado enviando el generador de $\pi_1(S^1)$ a la dilatación por $\lambda>0$${\mathbb R}$. El paquete de $E$ que hemos definido anteriormente, es claramente orientado (desde $\lambda >0$). Por lo tanto, $E$ es trivial como un vector paquete y, por lo tanto isomorfo a la tangente del paquete de $TS^1$. La imagen de la homomorphism $h$ es, por supuesto, sin límites. Por lo tanto, el anterior razonamiento implica que $\nabla$ no es compatible con cualquier métrica en $TS^1$.

Para el debate en profundidad de las conexiones, holonomy y así sucesivamente, véase, por ejemplo, Kobayashi y Nomizu "Fundamentos de la Geometría Diferencial" o Petersen "Geometría de Riemann".

Answer 2

Echa un vistazo a http://mathoverflow.net/questions/54434/when-can-a-connection-induce-a-riemannian-metric-for-which-it-is-the-levi-civita/, especialmente Thurston la respuesta, aunque no la respuesta a su pregunta, pero una situación especial.